#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ![En tête general](img/En_tete_general.png)
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# *(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2020 http://www.python-lycee.com/*
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# <span style="color: #9317B4"> Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec </span><span style="color: #B317B4"><strong>SHIFT+Entrée</strong></span>.

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# # Approximation par balayage <span style="color: red"> (corrigé)</span> 
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# On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2$.
# 
# ![Fonction carré](img/Approximation_par_balayage_carre.png)
# 
# On admet que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$ et que l’équation $f(x)=2$ 
# a une unique solution sur $[0;+\infty[$, notée $\sqrt{2}$. 
# Le but de l’exercice est d’obtenir des valeurs approchées de $\sqrt{2}$.
# 

# __1. Ecrire une fonction Python $f$ qui reçoit une valeur $x$ en argument et renvoie l’image de $x$ par la fonction $f$.__
# 

# In[25]:


# Ecrire la fonction
def f(x):
    return x**2


# __2.	La fonction ci-dessous permet d’obtenir des images successives par la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;2]$, avec un pas de $10^{-1}=0,1$.__
# 

# In[26]:


def balayage(f):
    
    x=1
    while x<2:
        print("f(",x,")=",f(x))
        x = x+0.1
    
    return None


# __Utiliser cette fonction pour compléter le tableau :__
# 
# |   $x$      | $1  $ | $1.1$ |$1.2$ |$1.3$ |$1.4$ |$1.5$ |$1.6$ |$1.7$ |$1.8$ |$1.9$ |$2  $ |
# | :-------:  |:--:   | :--:  | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
# |   $f$$($$x$$)$   |       |       |      |      |      |      |      |      |      |      |      |
# 

# In[27]:


# Effectuer les saisies nécessaires
balayage(f)


# __Pour quelle valeur $x_1$ du tableau a-t-on $x_1 \leqslant \sqrt{2} \leqslant x_1+0,1$ ? Justifier.__
# 
# __Modifier la fonction précédente pour qu’elle renvoie cette valeur $x_1$.__
# 
# 
# 
# 
# <span style="color: #888888">Aides : On pourra, entre autres, modifier la condition de la boucle while.
# On pourra supprimer les affichages réalisés avec l’instruction print.</span> 
# 

# In[28]:


# Fonction modifiée:

def balayage(f):
    
    x=1
    while f(x)<2:
        x = x+0.1
    
    return x-0.1

# Appel à la fonction modifiée:
balayage(f)


# __3. Compléter la fonction pour qu’elle effectue, à partir de cette valeur $x_1$, un nouveau balayage de pas $10^{-2}=0,01$.__
# 
# __La fonction renverra une valeur $x_2$ telle que $x_2 \leqslant \sqrt{2} \leqslant x_2+0,01$.__

# In[29]:


# Fonction modifiée:

def balayage(f):
    
    x=1
    while f(x)<2:
        x = x+0.1
    
    x=x-0.1
    while f(x)<2:
        x = x+0.01
    
    return x-0.01
    
# Appel à la fonction modifiée:
balayage(f)


# __4. Compléter la fonction pour qu’elle renvoie une valeur $x_3$ telle que $x_3 \leqslant \sqrt{2} \leqslant x_3+0,001$.__

# In[30]:


# Fonction modifiée:

def balayage(f):
    
    x=1
    while f(x)<2:
        x = x+0.1
    
    x=x-0.1
    while f(x)<2:
        x = x+0.01

    x=x-0.01
    while f(x)<2:
        x = x+0.001
        
    return x-0.001
    
# Appel à la fonction modifiée:
balayage(f)


# __5. 	En ajoutant une boucle, modifier la fonction précédente pour qu’elle renvoie une valeur $x_n$ telle que $x_n \leqslant \sqrt{2} \leqslant x_n+10^{-n}$, où $n$ est une valeur donnée en argument de la fonction.__

# In[31]:


# Fonction modifiée:

def balayage(f,n):
    
    x=1
    for k in range(n+1):
        while f(x)<2:
            x = x+10**-k
        x=x-10**-k
    
    return x


# __Donner une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-7}$ près.__

# In[32]:


# Appel à la fonction modifiée:
balayage(f,7)


# __6. Prolongement :__
# 
# __On admet que l’équation $x^3=5$ admet une unique solution sur $[0;+\infty[$, notée $\sqrt[3]{5}$.__
# 
# __Déterminer une valeur approchée de $\sqrt[3]{5}$ à $10^{-8}$ près.__
# 

# In[33]:


# on peut proposer une amélioration de la fonction balayage:

def balayage(f,val,n):
    
    x=1
    for k in range(n+1):
        while f(x)<val:
            x = x+10**-k
        x=x-10**-k
    
    return x

# Fonction cube

def g(x):
    return x**3

# Saisie pour la racine cubique de 5 à 10**-8 près

balayage(g,5,8)


# ![Cardan](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Cardan.jpg)
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# <center> <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/J%C3%A9r%C3%B4me_Cardan">Jérôme Cardan</a> (1501-1576) fut un des premiers à justifier la méthode d'approximation par balayage.</center>

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