#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ![En tête general](img/En_tete_general.png)
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# 
# *(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/*
# 
# <span style="color: #9317B4"> Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec </span><span style="color: #B317B4"><strong>SHIFT+Entrée</strong></span>.

# # Le flocon de Von Koch <span style="color: red"> (corrigé)</span>

# ### <span style="color:#8E44AD">Sommaire</span>
# 
# <span style="color:#8E44AD">1.</span> <a href="#1">Construction géométrique et notations</a><br>
# <span style="color:#8E44AD">2.</span> <a href="#2">Étude du périmètre du flocon de Von Koch </a><br>
# <span style="color:#8E44AD">3.</span> <a href="#3">Étude de l'aire du flocon de Von Koch</a><br>
# 

# ## <span id="1">1. Construction géométrique et notations</span>

# <BLOCKQUOTE style='background-color:#DDEEEE;'>
#     <strong>Description de la construction :</strong><br><br>
#     La figure initiale est un triangle équilatéral $P_0$ de côté $1$.<br><br>
#     À chaque étape, le polygone $P_n$ étant construit avec des côtés de longueur $a_n$, on obtient le polygone $P_{n+1}$ en remplaçant chaque côté par une ligne polygonale à quatre segments de longueur $a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n}{3}$ , vers l’extérieur.<br><br>
# </BLOCKQUOTE>        
#     Activer la figure dynamique ci-dessous, qui permet de visualiser les polygones $P_n$ pour les premières valeurs de $n$.<br>
#     <i style="color: #FF0000">(Pour faire apparaître et activer la figure dynamique, sélectionner la cellule et valider avec <strong>SHIFT+Entrée</strong>).</i>

# In[1]:


#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Flocon_Von_Koch.html'))


# <BLOCKQUOTE style='background-color:#DDEEEE;'>
#     <figure style="float: right;">
#         <img src="img/Von_Koch_notations.gif">
#     </figure>
#     <strong>Notations :</strong><br><br>
# Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note :
#     <ul>
#         <li>$\color{#3F48CC}{c_n}$ le <strong style="color:#3F48CC">nombre de côtés</strong> du polygone $P_n$ ;</li>    
#         <li>$\color{#22B14C}{a_n}$ la <strong style="color:#22B14C">longueur des côtés</strong> du polygone $P_n$ ;</li> 
#         <li>$\color{#A349A4}{p_n}$ le <strong style="color:#A349A4">périmètre</strong> du polygone $P_n$ ;</li> 
#         <li>$\color{#E36C0A}{A_n}$ l'<strong style="color:#E36C0A">aire</strong> du polygone $P_n$.</li>
#     </ul>
# </BLOCKQUOTE> 

# ## <span id="2">2. Étude du périmètre du flocon de Von Koch</span>

# <strong>2.1. $\;$a. Donner les valeurs de $c_0$ ; $c_1$ et $c_2$.<br>
# $\quad\;\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(c_n)_{n\geq0}$ ? Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.<br>
# $\quad\;\;$ c. Combien le polygone $P_5$ a-t-il de côtés ?<br>
# $\quad\;\;$ d. Déterminer $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}{c_n}$.<br>
# $\quad\;\;$ e. Écrire une fonction Python <mark style="font-family: Consolas;">c</mark> d'argument <mark style="font-family: Consolas;">n</mark> permettant le calcul de $c(n)$.<br>
# $\quad\quad\;$ Effectuer ensuite les saisies nécessaires pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.
# </strong>
# <br><br>
# <span style="color:red;">
# a. $c_0=3$ ; $c_1=3\times4=12$ ; $c_2=12\times4=48$.<br>
# b. $(c_n)_{n\geq0}$ est géométrique de premier terme $c_0=3$ et de raison $q=4$ donc $c_n=3\times4^n$.<br>
# c. $P_5$ a $c_5=3\times4^5=3072$ côtés.<br>
# d. $c_0=3>0$ et $q=4>1$ donc $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}{c_n}=+\infty$.<br>    
# </span>

# In[2]:


# Écrire ici la fonction c permettant le calcul de c(n)

def c(n):
    "Fonction qui calcule le nombre de côtés du polygone P_n"
    return 3*4**n


# In[3]:


# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.
c(5)


# <strong>2.2. $\;$a. Donner les valeurs exactes de $a_0$ ; $a_1$ et $a_2$.<br>
# $\quad\;\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(a_n)_{n\geq0}$ ? Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.<br>
# $\quad\;\;$ c. Quelle est la longueur des côtés du polygone $P_5$ ?<br>
# $\quad\;\;$ d. Déterminer $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}{a_n}$.<br>
# $\quad\;\;$ e. La fonction Python <mark style="font-family: Consolas;">a</mark> d'argument <mark style="font-family: Consolas;">n</mark> donnée ci-dessous permet le calcul de la valeur exacte de $a(n)$.<br>
# $\quad\quad\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultats de la questions 2.2.c.
# </strong>
# <br><br>
# <span style="color:red;">
# a. $a_0=1$ ; $\displaystyle a_1=\frac{a_0}{3}=\frac{1}{3}$ ; $\displaystyle a_2=\frac{a_1}{3}=\frac{1}{9}$.<br>
# b. $(a_n)_{n\geq0}$ est géométrique de premier terme $a_0=1$ et de raison $q=\displaystyle \frac{1}{3}$ donc $\displaystyle a_n=\frac{1}{3^n}$.<br>
# c. La longueur des côtés de $P_5$ est $\displaystyle a_5=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$.<br>
# d. $a_0=1>0$ et $0<q=\frac{1}{3}<1$ donc $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}{a_n}=0$.<br>    
# </span>

# In[4]:


from sympy import Rational 
# Cet import permet d'utiliser la fonction Rational pour effectuer des calculs de fractions sous forme exacte

def a(n):
    "Fonction qui calcule la longueur des côtés du polygone P_n"
    return Rational(1,3**n)


# In[5]:


# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.2.c.
a(5)


# <strong>2.3. $\;$a. Exprimer $p_n$ en fonction de $c_n$ et $a_n$.<br>
# $\quad\;\;$ b. Déterminer la valeur exacte du périmètre de $P_5$.<br>
# $\quad\;\;$ c. Écrire une fonction Python <mark style="font-family: Consolas;">p</mark> d'argument <mark style="font-family: Consolas;">n</mark> permettant le calcul de la valeur exacte de $p_n$<br>
# $\quad\quad\;$ (on effectuera des appels aux fonctions précédentes avec les syntaxes <mark style="font-family: Consolas;">c(n)</mark> et <mark style="font-family: Consolas;">a(n)</mark>).   
# $\quad\quad\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.
# </strong>
# <br><br>
# <span style="color:red;">
# a. $p_n=c_n\times a_n$.<br>
# b. Le périmètre de $P_5$ est $\displaystyle p_5=c_5\times a_5=\frac{3\times4^5}{3^5}=\frac{4^5}{3^4}=\frac{1024}{81}$.<br>
# </span>

# In[6]:


# Écrire ici la fonction p permettant le calcul de p(n) sous forme exacte

def p(n):
    "Fonction qui calcule le périmètre du polygone P_n"
    return a(n)*c(n)


# In[7]:


# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.
p(5)


# <strong>
# $\quad$ d. Exprimer $p_n$ en fonction de $n$. Justifier que la suite $(p_n)_{n\geq0}$ est géométrique. <br>    
# $\quad$ e. Déterminer $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}{p_n}$. Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
# </strong>
# <br><br>
# <span style="color:red;">
# a. $\displaystyle p_n=c_n\times a_n=3\times4^n\times\frac{1}{3^n}=3\times \left( \frac{4}{3} \right)^n$.<br>
# $\;\;\;$On obtient l'expression d'une suite géométrique de premier terme $p_0=3$ et de raison $\displaystyle q=\frac{4}{3}$.<br>
# b. $p_0=3>0$ et $q=\frac{4}{3}>1$ donc $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}{a_n}=+\infty$.<br>
# $\;\;\;$Le périmètre de $P_n$ peut être aussi grand qu'on le souhaite, pour $n$ "assez grand".<br>
# $\;\;\;$Ainsi le flocon de Von Koch a un contour de longueur infinie.
# </span>

# ## <span id="3">3. Étude de l'aire du flocon de Von Koch</span>

# <strong>3.1. $\;$Démontrer qu'un triangle équilatéral de côté $a>0$ a pour aire $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.<br> 
# 3.2. $\;$Donner la valeur de $A_0$.<br>
# 3.3. $\;$a. Combien de triangles sont ajoutés lorsqu'on passe de la figure $P_0$ à $P_1$ ? Que vaut l'aire ajoutée ? En déduire la valeur de $A_1$.<br>
# $\quad\;\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python <mark style="font-family: Consolas;">AireEqui</mark> d'argument <mark style="font-family: Consolas;">a</mark> qui permet le calcul de la valeur exacte d'un triangle de côté $a$.<br>
# $\quad\quad\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour effectuer le calcul de $A_1$ de la question 3.3.a.<br>
# $\quad\quad\;$ (on utilisera respectivement les syntaxes <mark style="font-family: Consolas;">a(0)</mark> et <mark style="font-family: Consolas;">a(1)</mark> pour les longueurs des côtés de $P_0$ et $P_1$)
# </strong>
# <br><br>    
# <span style="color:red;">
# 3.1. La hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ vaut $\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (peut s'établir à l'aide du théorème de Pythagore ou à l'aide de résultats de trigonométrie).<br>
# $\quad\;$ Ainsi l'aire d'un tel triangle vaut $\displaystyle \frac{a\times \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$<br>
# 3.2. $\displaystyle A_0=\frac{a_0^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.<br>   
# 3.3.a. Lorsqu'on passe de la figure $P_0$ à $P_1$ on ajoute $c_0=3$ triangles équilatéraux de côté $\displaystyle a_1=\frac{1}{3}$.<br>
# $\quad\;\;\;$ L'aire ajoutée vaut donc $\displaystyle 3\times \frac{ \left( \frac{1}{3} \right) ^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{12}.$<br>
# $\quad\;\;\;$ On en déduit $\displaystyle A_1=A_0+\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.<br>
# </span>     

# In[8]:


from sympy import sqrt
# Cet import permet d'utiliser la fonction sqrt pour effectuer des calculs avec racines carrées sous forme exacte

def AireEqui(a):
    "Fonction qui calcule l'aire d'un triangle équilatéral de côté a (sous forme exacte)"
    return sqrt(3)*Rational(a**2,4)


# In[9]:


# Effectuer ici la saisie pour retrouver le résultat de la question 3.3.a.
AireEqui(a(0))+3*AireEqui(a(1))


# <figure style="float: right;">
#     <img src="img/Von_Koch_passage.gif">
# </figure>
# <strong>3.4. On effectue maintenant un raisonnement similaire à celui de la question 3.2. dans le cas général.<br>
# $\quad\;\;$ a. On considère un entier $n>0$.<br>
# $\quad\quad\;\;$ En raisonnant sur les aires ajoutées lorsqu'on passe de la figure $P_{n-1}$ à $P_n$, justifier que :<br>
# $\quad\quad\;\;$ $\displaystyle A_n = A_{n-1}+c_{n-1}\times \frac{\sqrt{3}}{4}{a_n}^2$<br>
# $\quad\;\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python <mark style="font-family: Consolas;">A</mark> d'argument <mark style="font-family: Consolas;">n</mark> permettant le calcul de $A_n$..<br> 
# $\quad\quad\;\;$ Exécuter les saisies proposées pour obtenir la valeur exacte de $A_1$ et sa valeur décimale approchée.<br>
# $\quad\quad\;\;$ Vérifier la cohérence avec les résultats des questions 3.3.a. et 3.3.b.
# </strong>
# <br><br>
# <span style="color:red;">
# 3.4.a. Lorsqu'on passe de la figure $P_{n-1}$ à $P_n$ on ajoute $c_{n-1}$ triangles équilatéraux de côté $\displaystyle a_n$, d'où le résultat.<br>
# </span>

# In[10]:


def A(n):
    "fonction qui calcule l'aire du polygone P_n (sous forme exacte)"
    if n==0: return AireEqui(1)
    return A(n-1)+c(n-1)*sqrt(3)*Rational(a(n)**2,4)


# In[11]:


A(1)


# In[12]:


A(1).evalf()


# <strong>
# $\quad\;\;$ d. Effectuer des saisies pour évaluer $A_5$, $A_{10}$ et $A_{100}$.<br>
# $\quad\quad\;\;$ Que peut-on conjecturer pour la suite $(A_n)_{n\geq0}$ ?<br>
# $\quad\quad\;\;$ Interpréter géométriquement ce résultat.<br>
# </strong>
# <br><br>
# <span style="color:red;">
# Il semble que la suite $(A_n)_{n\geq0}$ soit majorée et admette une limite finie.<br>
# Ainsi, le flocon de Von Koch a une aire finie, bien que délimité par un contour de longueur infini.
# </span>

# In[13]:


# Utiliser ces zones pour les saisies demandées
A(5)


# In[14]:


A(5).evalf()


# In[15]:


A(10)


# In[16]:


A(10).evalf()


# In[17]:


A(100)


# In[18]:


A(100).evalf()


# ![Von_Koch](img/Von_Koch.png)
# 
# <center> <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch">Niels Fabian Helge von Koch</a> (1870-1924)</center>

# *(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/*
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