#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# Лицензия MIT
# 
# © Алексей Александрович Щербаков, 2024

# # Обратные и оптимизационные задачи. Задания

# ## Инженерный и вычислительный трек
# 
# 1. Реализуйте метод сопряжения для расчета градиентов по параметрам бинарной дифракционной решетки.
# 2. (см. также задачу 1 в Инженерном треке в разделе Дифракционные решетки) Для перенаправления лазерных пучков используются так называемые решетки с блеском, представляющие собой периодически нарезанную поверхность, часто с профилем, представляющим собой прямогульный треугольник, одна сторона которого много меньше другой, а период решетки много больше длины волны. Работа такой решетки заключается в перенаправлении энергии излучения в направлении, которое задаётся законом отражения для длинной стороны треугольника. Ранее была такая решетка была оптимизирована с применением простой прогоки по одному параметру. Пусть теперь требуется заменить оптимизированную треугольную решетку с блеком бинарной дифракционной решеткой, каждый период которой представляет собой гребенку с линиями различной толщины. Период такой бинарной решетки равен периоду исходной решетки. Предложите простой метод получения хорошего начального приближения для оптимизации такой структуры. Из каких соображений необходимо выбирать глубину решётки? Реализуйте код и проведите оптимизацию решетки одним из градиентных методов. Можно ли таким образом достичь эффективности, превышающей эффективность исходной треугольной решетки?

# ## Теоретический трек
# 
# 1. Пусть рассматривается многослойная сфера, возбуждаемая электрическим дипольным источником и задача оптимизации амплитуды рассеяного поля в направлении оси, соединяющей центры сферы и источника. Получите аналитические выражения и предложите метод расчета градиента целевой функции по вектору параметров, включающих радиусы слоев.
# 2. Пусть рассматривается дифракция плоской волны на бинарной дифракционной решетке, и задача максимизации дифракционной эффективности заданного дифракционного порядка. Получите аналитические выражения и предложите метод расчета градиента целевой функции по вектору параметров, включающих положения и ширины прямоугольных штрихов на периоде решётки.
# 3. Запишите сопряженный метод для задачи Коши системы дифференциальных уравнений $dx/dt = Ax$ с начальным условием $x=0$, перефомулировав задачу через рассмотренную на лекции линейную задачу с помощью решения уравнения через матричную экспоненту. В чем состоит вычислительная сложность подобных задач по сравнению с рассмотренными на лекции?