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# # 17のpre試験
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# 1234 西谷滋人
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# # 1(a)
# (Einstein 結晶のエネルギー) 次の関数 E(x) を求めて x=0..2 でプロットせよ.
# \begin{align*}
# Z(x) = \frac{\exp(1/x)}{1-\exp(-1/x)} \\
# E(x) = x^2 \frac{\rm d}{{\rm d}x} \log \left(Z(x)\right)
# \end{align*}
# 

# # 1(b)
# 資料を参考にして，次の2重積分を求めよ．(15点)
# \begin{equation*}
# \int \int_D \sqrt{2x^2-y^2}dxdy,\hspace{5mm} D:0\leqq y \leqq x \leqq 1 
# \end{equation*}
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# # 2(a)
# 
# 行列$\displaystyle A= 
# \left( \begin {array}{ccc} 
# 1&1&3\\ 
# -1&0&1\\ 
# 1&2&1
# \end {array} \right) $
# の対角化行列を求めて，対角化せよ．(15点)
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# # 2(b)
# 
# 資料を参考にして，行列$\displaystyle  
# \left[ \begin {array}{cc} 
# 1/\sqrt{2}&a\\ 
# b&-1/\sqrt{2}
# \end {array} \right] $が直交行列であるとき，$a,b$を求めよ．(15点)
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# # 3(a)
# 
# $p$を実数とし，$f(x)=x^3-p\,\, x$とする．
# 
# 関数$f(x)$が極値をもつための$p$の条件を求めよう．$f(x)$の導関数は，
# \begin{equation*}
# f'(x) = \fbox{ ア }\,\,  x^{\,\,\fbox{ イ }}-p
# \end{equation*}
# である．したがって，$f(x)$が$x=a$で極値をとるならば，
# \begin{equation*}
# \fbox{ ア }\,\,  a^{\,\,\fbox{ イ }}-p=\fbox{ ウ }
# \end{equation*}
# が成り立つ．さらに$x=a$の前後での$f'(x)$の符号の変化を考えることにより，
# $p$が条件$\fbox{ エ $(p>0)$}$を満たす場合は$f(x)$は必ず極値を持つことがわかる．

# # 3(b)
# 関数$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{3}$で極値をとるとする．また，曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$\displaystyle \left(\frac{p}{3}, f\left(\frac{p}{3}\right) \right)$をAとする．
# 
# $f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{3}$で極値をとることから，$p=\fbox{ オ }$であり，$f(x)$は$x=\fbox{ カキ }$で極大値をとり，$x=\fbox{ ク }$で極小値をとる．
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# 

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# 曲線$C$の接線で，点Aを通り傾きが0でないものを$l$とする．$l$の方程式を求めよう．$l$と$C$の接点の$x$座標を$b$とすると，$l$は点$(b, f(b))$における$C$の接線であるから，$l$の方程式は$b$を用いて
# \begin{equation*}
# y= \left(\fbox{ ケ }\,\,  b^2 - \fbox{ コ }\right)(x-b)+f(b)
# \end{equation*}
# と表すことができる．また，$l$は点Aを通るから，方程式
# \begin{equation*}
# \fbox{ サ }\,\, b^3-\fbox{ シ }\,\, b^2+1=0
# \end{equation*}
# を得る．この方程式を解くと，
# \begin{equation*}
# b = \fbox{ ス }\,\,, \frac{\fbox{ セソ }}{\fbox{ タ }}
# \end{equation*}
# であるが，$l$の傾きが0でないことから，$l$の方程式は
# \begin{equation*}
# y = \frac{\fbox{ チツ }}{\fbox{ テ }}\,\, x+\frac{\fbox{ ト }}{\fbox{ ナ }}
# \end{equation*}
# である．
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# 

# 点Aを頂点とし，原点を通る放物線を$D$とする．$l$と$D$で囲まれた図形のうち，不等式$x \geqq 0$の表す領域に含まれる部分の面積$S$を求めよう．$D$の方程式は，
# \begin{equation*}
# y = \fbox{ ニ }\,\, x^2 -\fbox{ ヌ }\,\, x
# \end{equation*}
# であるから，定積分を計算することにより，$\displaystyle S=\frac{\fbox{ ネノ }}{24}$となる．(10点)
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# (2014年度大学入試センター試験　本試験　数学II・B第2問)

# # 4
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# 前問3(b)の$C$上の頂点Aの座標を$\displaystyle \left(\frac{p}{4}, f\left(\frac{p}{4}\right) \right)$と変えて問題を解け．ただし数値を変えたので，それほど複雑な数字にはならないが，\fbox{ オ }，\fbox{ カキ }等には箱にこだわらず数字がはいる．最後は$\displaystyle S=\frac{11}{27}$ではなく，$\displaystyle S=\frac{352}{243}$になる．(30点)
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# # 4(b)
# 関数$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{4}$で極値をとるとする．また，曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$\displaystyle \left(\frac{p}{4}, f\left(\frac{p}{4}\right) \right)$をAとする．
# 
# $f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{4}$で極値をとることから，$p=\fbox{ オ }$であり，$f(x)$は$x=\fbox{ カキ }$で極大値をとり，$x=\fbox{ ク }$で極小値をとる．
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# 曲線$C$の接線で，点Aを通り傾きが0でないものを$l$とする．$l$の方程式を求めよう．$l$と$C$の接点の$x$座標を$b$とすると，$l$は点$(b, f(b))$における$C$の接線であるから，$l$の方程式は$b$を用いて
# \begin{equation*}
# y= \left(\fbox{ ケ }\,\,  b^2 - \fbox{ コ }\right)(x-b)+f(b)
# \end{equation*}
# と表すことができる．また，$l$は点Aを通るから，方程式
# \begin{equation*}
# \fbox{ サ }\,\, b^3-\fbox{ シ }\,\, b^2+1=0
# \end{equation*}
# を得る．この方程式を解くと，
# \begin{equation*}
# b = \fbox{ ス }\,\,, \frac{\fbox{ セソ }}{\fbox{ タ }}
# \end{equation*}
# であるが，$l$の傾きが0でないことから，$l$の方程式は
# \begin{equation*}
# y = \frac{\fbox{ チツ }}{\fbox{ テ }}\,\, x+\frac{\fbox{ ト }}{\fbox{ ナ }}
# \end{equation*}
# である．
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# 点Aを頂点とし，原点を通る放物線を$D$とする．$l$と$D$で囲まれた図形のうち，不等式$x \geqq 0$の表す領域に含まれる部分の面積$S$を求めよう．$D$の方程式は，
# \begin{equation*}
# y = \fbox{ ニ }\,\, x^2 -\fbox{ ヌ }\,\, x
# \end{equation*}
# であるから，定積分を計算することにより，$\displaystyle S=\frac{\fbox{ ネノ }}{24}$となる．(10点)
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# (2014年度大学入試センター試験　本試験　数学II・B第2問)