#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8
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Table of Contents
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# 2021年度 数式処理演習 pair試験問題
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# cc by Shigeto R. Nishitani, 2021/12/2実施
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# * file: ~/symbolic_math/exams/21_pair_ans.ipynb
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# 以下の問題をpythonで解き,LUNAへ提出せよ.LUNAへはipynbとpdf形式の2種類を提出すること.
# # 1微積分
# ## 1(a) 関数の概形(15点)
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# (テキストp.216の図6.6の確認)
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# 直線$y=-2x+4$が, シグモイド関数
# \begin{equation*}
# \sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}
# \end{equation*}
# を通す($y=\sigma(-2x+4)$)ことによって0と1の範囲に潰されることを確認せよ.
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# sympyのplotに対してy軸の表示範囲は,オプション
# ``` python
# ylim=(-1,2)
# ```
# をつけることで指定できる.
# ## 1(b) シグモイド関数(15点)
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# (テキストp.131の4-118式の確認)
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# シグモイド関数
# \begin{equation*}
# \sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}
# \end{equation*}
# の増減,極値,凹凸を調べ,曲線$y=\sigma(x)$の概形を描け.
# シグモイド関数の微分が
# \begin{equation*}
# \sigma(x)(1-\sigma(x))
# \end{equation*}
# に一致することを確かめよ.両者を同時にプロットすることでも確かめられる.
# ただし,曲線は重なるので,どちらかをy軸方向に0.01程度ずらして表示すること.
# # 2 線形代数
# ## 2(a) 転置(15点)
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# (テキストp.115, 4-94式の確認)
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# $$A=\left(
# \begin{array}{ccc}
# 1 & 2 & 3\\
# 4 & 5 & 6 \end{array}
# \right)$$
# $$
# B = A^{\rm T}
# $$
# に対して,公式
# $$
# (AB)^{\rm T} = B^{\rm T} A^{\rm T}
# $$
# が成り立つことを確かめよ.
# ## 2(b) (15点)
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# 次の行列$A$の固有値とそれに対する固有ベクトルを求めよ.
# \begin{equation*}
# A = \left(
# \begin{matrix}
# -2 & -3 & 3\\
# 1 & 2 & -3\\
# 1 & 1 & -2
# \end{matrix}
# \right)
# \end{equation*}
# それぞれの固有値($\lambda_i$),固有空間($x_i$)に対して,
# $$
# A x_i = \lambda_i x_i
# $$
# が成立することを確かめよ.
# # 3 センター試験原題(20点)
# (2019大学入試センター試験 数学II・B 第2問(1),(2))
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# $p, q$ を実数とし,
# 関数$f(x)=x^3 + p x^2 +qx$ は$x=-1$で極値2を取るとする.
# また,座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$,放物線$y=-kx^2$ を$D$,
# 放物線$D$上の点$(a, -ka^2)$をAとする.
# ただし, $k \gt 0, a\gt0$である.
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# (1) 関数$f(x)$が$x=-1$で極値をとるので,
# $f'(-1) = \fbox{ ア }$である.
# これと$f(-1)=2$より, $p=\fbox{ イ }\,, q={ \fbox{ ウエ }}$である.
# よって$f(x)$は$x= \fbox{ オ }$で極小値$ \fbox{ カキ }$をとる.
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# (2) 点Aにおける放物線$D$の接線を$l$とする.
# $D$と$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を
# $a$と$k$を用いて表そう.
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# $l$の方程式は
# \begin{equation*}
# y = \fbox{ クケ }\,kax + \,ka^{ \fbox{ コ }} ... (1)
# \end{equation*}
# と表せる.
# $l$と$x$軸の交点の$x$座標は
# $\frac{\fbox{ サ }}{\fbox{ シ }}$であり,
# $D$と$x$軸および
# 直線$x=a$で囲まれた図形の面積は
# $\frac{k}{\fbox{ ス }}a^{\fbox{ セ }}$である.
# よって,$S=\frac{k}{\fbox{ ソタ }} a^{\fbox{ セ }}$である.
# # 4 数値改変(20点)
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# 大問3.において,関数$f(x)$が$x=-0.9$で極値2をとるとして問3(a)を解きなさい.
# 問3(b)は変わらないので,解く必要ありません.
# 極小値は$−3.66567655334305$ぐらいである.
# さらに,これらの値を用いて,(x,-2,2)で曲線$C, D$を同時にプロットしなさい.
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# 追加:$k$は適当に,例えば,k=1と定めてください.