#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8
# Table of Contents
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# 2020年度 数式処理演習 pair試験問題
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# cc by Shigeto R. Nishitani, 2020/11/26 実施
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# * file: ~/symboic_math/exams/20_pre_ans.ipynb
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# 以下の問題をpythonで解き，LUNAへ提出せよ．LUNAへはipynbとpdf形式の２種類を提出すること．
# # 微積分
# ## ソフトマックス関数の概形(15点)
# ソフトマックス関数
# \begin{equation*}
# f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}
# \end{equation*}
# の増減，極値，凹凸を調べ，曲線$y=f(x)$の概形を描け．
# | x | $-\infty$ | $\cdots$ | 0 | $\cdots$ | $\infty$ |
# | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
# | f(x) | 0 | $\nearrow$ | 0.5 | $\nearrow$ | 0 |
# | f'(x) | 0 | + | + | + | 0 |
# | f''(x) | 0 | + | 0 | - | 0
# ## 3D関数のプロット(15点)
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# ３変数のシグモイド関数で，１変数を固定すると次のような関数となる．
# ``` python
# import numpy as np
#
# def softmax(x,y):
# return np.exp(-x)/(np.exp(-x)+np.exp(-y)+np.exp(-1))
# ```
#
# この関数を
# ``` python
# x = np.arange(-4, 4, 0.5)
# y = np.arange(-4, 4, 0.5)
# ```
# で３次元プロットせよ．
# # 線形代数
# ## 線形結合の確認(p.173, 5-39)(15点)
#
# sympyを使って，$w^T x$で線形結合が得られることを確認せよ．
# 1. $ w=\left(\begin{array}c w_0\\w_1\\w_2\end{array}\right)$, $ x=\left(\begin{array}c x_0\\x_1\\x_2\end{array}\right)$を作る．
# 1. wを転置する
# 1. `ww.T*xx`で線形結合となることを確認する．
# 1. `ww*xx.T`では3x3の行列が得られることも確認せよ．
# ## 解析解の確認(p.177, 5-60)(15点)
#
# ``` python
# xdata=np.array([1,2,3,4])
# ydata=np.array([0,5,15,24])
# ```
# を対象データとして，(5-53)にしたがって，N=4, n=3で
# $$
# y=a_0 + a_1\,x +a_2\, x^2
# $$
# に対するfittingを行う．得られたデザイン行列$X$は
# $$X=\left(
# \begin{array}{@{\,}ccc@{\,}}
# 1 & 1 & 1\\
# 1 & 2 & 4\\
# 1 & 3 & 9\\
# 1 & 4 & 16\\\end{array}
# \right)$$
# となる．(5-59)式の左辺の$X^TX$が3x3行列になることを確認せよ．
#
# ヒント：https://nbviewer.jupyter.org/github/daddygongon/jupyter_num_calc/blob/master/numerical_calc/least_square_fit.ipynb
# の「正規方程式(Normal Equations)による解」の「python codeによる具体例」を参照せよ．
# # センター試験原題(10点)
# (2018大学入試センター試験 追試験 数学II・B 第2問)
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# $a$ を正の実数とし，
# 放物線$y=3x^2$ を$C_1$,
# 放物線$y=2x^2+a^2$ を$C_2$ とする．
# $C_1$ と$C_2$ の二つの共有点を $x$ 座標の小さい順にA,Bとする．
# また，$C_1$ と$C_2$ の両方に第1象限で接する直線を$l$ とする．
#
# (1) Bの座標を$a$ を用いて表すと
# $(\fbox{ ア }\,, \fbox{ イ }\,a^{ \fbox{ ウ }})$
# である
#
# 直線$l$ と二つの放物線$C_1, C_2$ の接点の$x$ 座標をそれぞれ$s,t$ とおく．
# $l$ は$x=s$ で$C_1$ と接するので，$l$ の方程式は
# \begin{equation*}
# y = \fbox{ エ }\,sx - \fbox{ オ }\,s^{ \fbox{ カ }}
# \end{equation*}
# と表せる．
# 同様に，$l$ は$x=t$ で$C_2$ と接するので，$l$ の方程式は
# \begin{equation*}
# y = \fbox{ キ }\,tx - \fbox{ ク }\,t^{ \fbox{ カ }} + a^2
# \end{equation*}
# とも表せる．これらにより，$s,t$ は
# \begin{equation*}
# s = \frac{\sqrt{\fbox{ ケ }}}{\fbox{ コ }}a , \,\,\,\,
# t= \frac{\sqrt{\fbox{ ケ }}}{\fbox{ サ }}a
# \end{equation*}
# である．
# 放物線$C_1$ の$s \leqq x \leqq {\fbox{ ア }}$ の部分
# 放物線$C_2$ の${\fbox{ ア }} \leqq x \leqq t$ の部分,
# $x$ 軸，
# および2直線$x=s, x=t$で囲まれた図形の面積は
# \begin{equation*}
# \frac{\fbox{ シ }\sqrt{\fbox{ ス }}-\fbox{ セ }}{\fbox{ ソ }}a^{\fbox{ タ }}
# \end{equation*}
# である．
# # 数値改変(30点)
#
# 問3.において，放物線$C_1$ が
# $$
# y = 2.9 x^2
# $$
# である場合について解きなさい．
# ただし，係数が浮動小数点数に変わったので，$\fbox{ ア }\,, \fbox{ イ }$などには浮動小数点数が入る．最後の図形の面積は，$1.284186\ldots a^3$ となる．(30点)