#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8
# Table of Contents
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# 2020年度 数式処理演習 pair試験問題
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# cc by Shigeto R. Nishitani, 2020/11/26 実施
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# * file: ~/symboic_math/exams/20_pre_ans.ipynb
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# 以下の問題をpythonで解き，LUNAへ提出せよ．LUNAへはipynbとpdf形式の２種類を提出すること．
# # 微積分
# ## ソフトマックス関数の概形(15点)
# ソフトマックス関数
# \begin{equation*}
# f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}
# \end{equation*}
# の増減，極値，凹凸を調べ，曲線$y=f(x)$の概形を描け．
# In[1]:
from sympy import *
x, y = symbols('x y')
f = 1/(1+exp(-x))
f
# In[2]:
df = f.diff(x)
df
# In[3]:
df2 = f.diff(x,x)
df2
# In[4]:
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')
plot(f,df,df2,(x,-5,5))
# In[5]:
solve(df,x)
# In[6]:
solve(df2,x)
# | x | $-\infty$ | $\cdots$ | 0 | $\cdots$ | $\infty$ |
# | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
# | f(x) | 0 | $\nearrow$ | 0.5 | $\nearrow$ | 0 |
# | f'(x) | 0 | + | + | + | 0 |
# | f''(x) | 0 | + | 0 | - | 0
# ## 3D関数のプロット(15点)
#
# ３変数のシグモイド関数で，１変数を固定すると次のような関数となる．
# ``` python
# import numpy as np
#
# def softmax(x,y):
# return np.exp(-x)/(np.exp(-x)+np.exp(-y)+np.exp(-1))
# ```
#
# この関数を
# ``` python
# x = np.arange(-4, 4, 0.5)
# y = np.arange(-4, 4, 0.5)
# ```
# で３次元プロットせよ．
# In[7]:
import numpy as np
def softmax(x,y):
return np.exp(-x)/(np.exp(-x)+np.exp(-y)+np.exp(-1))
# In[8]:
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
# In[9]:
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')
x = np.arange(-3, 3, 0.25)
y = np.arange(-3, 3, 0.25)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z1 = softmax(X,Y)
fig = plt.figure()
plot3d = Axes3D(fig)
plot3d.plot_surface(X,Y,Z1)
plt.show()
# # 線形代数
# ## 線形結合の確認(p.173, 5-39)(15点)
#
# sympyを使って，$w^T x$で線形結合が得られることを確認せよ．
# 1. $ w=\left(\begin{array}c w_0\\w_1\\w_2\end{array}\right)$, $ x=\left(\begin{array}c x_0\\x_1\\x_2\end{array}\right)$を作る．
# 1. wを転置する
# 1. `ww.T*xx`で線形結合となることを確認する．
# 1. `ww*xx.T`では3x3の行列が得られることも確認せよ．
# In[10]:
from sympy import *
w0,w1,w2 = symbols('w0,w1,w2')
x0,x1,x2 = symbols('x0,x1,x2')
ww = Matrix([w0,w1,w2])
xx = Matrix([x0,x1,x2])
ww
# In[11]:
ww.T*xx
# In[12]:
ww*xx.T
# ## 解析解の確認(p.177, 5-60)(15点)
#
# ``` python
# xdata=np.array([1,2,3,4])
# ydata=np.array([0,5,15,24])
# ```
# を対象データとして，(5-53)にしたがって，N=4, n=3で
# $$
# y=a_0 + a_1\,x +a_2\, x^2
# $$
# に対するfittingを行う．得られたデザイン行列$X$は
# $$X=\left(
# \begin{array}{@{\,}ccc@{\,}}
# 1 & 1 & 1\\
# 1 & 2 & 4\\
# 1 & 3 & 9\\
# 1 & 4 & 16\\\end{array}
# \right)$$
# となる．(5-59)式の左辺の$X^TX$が3x3行列になることを確認せよ．
#
# ヒント：https://nbviewer.jupyter.org/github/daddygongon/jupyter_num_calc/blob/master/numerical_calc/least_square_fit.ipynb
# の「正規方程式(Normal Equations)による解」の「python codeによる具体例」を参照せよ．
# In[13]:
import numpy as np
from pprint import pprint
import scipy.linalg as linalg
X = Matrix([[ 1., 1., 1.],
[ 1., 2., 4.],
[ 1., 3., 9.],
[ 1., 4., 16.]])
np.dot(X.T,X).shape
# # センター試験原題(10点)
# (2018大学入試センター試験 追試験 数学II・B 第2問)
#
# $a$ を正の実数とし，
# 放物線$y=3x^2$ を$C_1$,
# 放物線$y=2x^2+a^2$ を$C_2$ とする．
# $C_1$ と$C_2$ の二つの共有点を $x$ 座標の小さい順にA,Bとする．
# また，$C_1$ と$C_2$ の両方に第1象限で接する直線を$l$ とする．
#
# (1) Bの座標を$a$ を用いて表すと
# $(\fbox{ ア }\,, \fbox{ イ }\,a^{ \fbox{ ウ }})$
# である
#
# In[14]:
from sympy import *
a, s, t, x = symbols('a, s, t, x')
# In[15]:
yC1 = 3*x**2
yC1
# In[16]:
yC2 = 2*x**2+a**2
yC2
# In[17]:
eq = yC1 - yC2
# In[18]:
xB = solve(eq,x)[1]
xB
# In[19]:
yC2.subs({x:xB})
# 直線$l$ と二つの放物線$C_1, C_2$ の接点の$x$ 座標をそれぞれ$s,t$ とおく．
# $l$ は$x=s$ で$C_1$ と接するので，$l$ の方程式は
# \begin{equation*}
# y = \fbox{ エ }\,sx - \fbox{ オ }\,s^{ \fbox{ カ }}
# \end{equation*}
# と表せる．
# 同様に，$l$ は$x=t$ で$C_2$ と接するので，$l$ の方程式は
# \begin{equation*}
# y = \fbox{ キ }\,tx - \fbox{ ク }\,t^{ \fbox{ カ }} + a^2
# \end{equation*}
# とも表せる．これらにより，$s,t$ は
# \begin{equation*}
# s = \frac{\sqrt{\fbox{ ケ }}}{\fbox{ コ }}a , \,\,\,\,
# t= \frac{\sqrt{\fbox{ ケ }}}{\fbox{ サ }}a
# \end{equation*}
# である．
# In[20]:
m1 = diff(yC1)
# In[21]:
#y - y0 = m*(x-x0)
yl1 = m1.subs({x:s})*(x-s)+yC1.subs({x:s})
# In[22]:
yl1.expand()
# In[23]:
m2 = diff(yC2,x)
yl2 = m2.subs({x:t})*(x-t)+yC2.subs({x:t})
# In[24]:
yl2.expand()
# In[25]:
t0=solve(m1.subs({x:s})-m2.subs({x:t}),t)[0]
t0
# In[26]:
s0=solve((yl1-yl2).subs({x:0}).subs({t:t0}),s)[1]
s0
# In[27]:
t0.subs({s:s0})
# 放物線$C_1$ の$s \leqq x \leqq {\fbox{ ア }}$ の部分
# 放物線$C_2$ の${\fbox{ ア }} \leqq x \leqq t$ の部分,
# $x$ 軸，
# および2直線$x=s, x=t$で囲まれた図形の面積は
# \begin{equation*}
# \frac{\fbox{ シ }\sqrt{\fbox{ ス }}-\fbox{ セ }}{\fbox{ ソ }}a^{\fbox{ タ }}
# \end{equation*}
# である．
# In[28]:
SS=integrate(yC1,(x,s,a))+integrate(yC2,(x,a,t))
# In[29]:
together(SS.subs({t:t0}).subs({s:s0}))
# # 数値改変(30点)
#
# 問3.において，放物線$C_1$ が
# $$
# y = 2.9 x^2
# $$
# である場合について解きなさい．
# ただし，係数が浮動小数点数に変わったので，$\fbox{ ア }\,, \fbox{ イ }$などには浮動小数点数が入る．最後の図形の面積は，$1.284186\ldots a^3$ となる．(30点)
# In[30]:
from sympy import *
a, s, t, x = symbols('a, s, t, x')
# In[31]:
yC1 = 2.9*x**2
yC1
# In[32]:
yC2 = 2*x**2+a**2
yC2
# In[33]:
eq = yC1 - yC2
# In[34]:
xB = solve(eq,x)[1]
xB
# In[35]:
yC2.subs({x:xB})
# In[36]:
m1 = diff(yC1)
# In[37]:
#y - y0 = m*(x-x0)
yl1 = m1.subs({x:s})*(x-s)+yC1.subs({x:s})
# In[38]:
yl1.expand()
# In[39]:
m2 = diff(yC2,x)
yl2 = m2.subs({x:t})*(x-t)+yC2.subs({x:t})
# In[40]:
yl2.expand()
# In[41]:
t0=solve(m1.subs({x:s})-m2.subs({x:t}),t)[0]
t0
# In[42]:
s0=solve((yl1-yl2).subs({x:0}).subs({t:t0}),s)[1]
s0
# In[43]:
t0.subs({s:s0})
# In[44]:
SS=integrate(yC1,(x,s,a))+integrate(yC2,(x,a,t))
# In[45]:
together(SS.subs({t:t0}).subs({s:s0}))
# In[46]:
(-6+7*sqrt(6.0))/9
# In[ ]: