#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Table of Contents
#  <p><div class="lev1 toc-item"><a href="#定義と解説" data-toc-modified-id="定義と解説-1"><span class="toc-item-num">1&nbsp;&nbsp;</span>定義と解説</a></div><div class="lev1 toc-item"><a href="#紙" data-toc-modified-id="紙-2"><span class="toc-item-num">2&nbsp;&nbsp;</span>紙</a></div><div class="lev1 toc-item"><a href="#python" data-toc-modified-id="python-3"><span class="toc-item-num">3&nbsp;&nbsp;</span>python</a></div>

# <div style="text-align: center;">
#    <font size="5"> 線形代数(Linear Algebra II) 行列式 </font>
# </div>
#    <div style="text-align: right;">
#    <font size="3"> cc by Shigeto R. Nishitani, 2018-03-16 </font>
# </div>
# 
# * file: /Users/bob/python/doing_math_with_python/linear_algebra/LA-I.ipynb

# # 定義と解説
# 
# 行列式は英語でdeterminant(決定するもの)で，
# 行列の性質を代表する**数**です．
# 
# * 定義
#    * ${\rm sgn}$関数は，順列に対して符号を決定する関数
# 
# $$
# \begin{array}{rl}
# {\rm sgn}(p,q,\ldots,s)& = 
# \left\{\begin{array}{ccc}
# 1 & ; & (p,q,\ldots,s)が偶順列 \\
# -1 & ; & (p,q,\ldots,s)が奇順列 
# \end{array} \right. \\
# &=  (-1)^m ; (p,q,\ldots,s) \overset{\rm m回の互換}{\rightarrow}
# (1,2,\ldots,n)
# \end{array}
# $$
# 
#    * $A=[a_{ij}]$行列の行列式($|A|, \det A, \det[a_{ij}], |a_1,a_2, \ldots, a_n|$)
# $$
# \left(\begin{array}{cccc}
#  a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
# a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
# \vdots & \vdots &  & \vdots \\
# a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
# \end{array}\right) 
# = \sum {\rm sgn}(p,q,\ldots,s) a_{1p}a_{2p}\cdots a_{ns}
# $$
# ここに$\sum$は$\{1,2,\ldots,n\}$のすべての順列$(p,q,\ldots,s)$について加えることを意味する．
# 
#   * 以下の行列式表記 $|a_1,a_2, \ldots, a_n|$で$a_1,\ldots$は列ベクトルを意図している．
#   * サラスの方法(たすき掛け)
# 
# * 基本性質
#    * $|^t A|=|A|$ 転置しても行列式の値は変わらない
#       * 行について成り立つ性質は列についても成り立つ
#    * **n重線形性**
# $$
# \left|a_1\cdots \lambda a_j' + \mu a_j'' \cdots a_n \right| =
# \lambda\,\left|a_1\cdots  a_j' \cdots a_n\right| + 
# \mu\, \left|a_1\cdots a_j'' \cdots a_n\right|
# $$
#    * **交代性**
# $$
# \left|a_1\cdots a_j \cdots a_k \cdots a_n \right| =
# - \left|a_1\cdots a_k \cdots a_j \cdots a_n \right|
# $$
# 
# * 余因数(余因子)展開
#    * 小行列式$D_{ij}$として，余因数は$A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}$
# 
# * 逆行列
#    * 余因子行列，随伴行列 ${\rm adj}A$ ;
# $(i,j)$成分$a_{ij}$の余因子$A_{ij}$を$(j,i)$成分とする行列
#    * 逆行列の公式
# $$
# A^{-1} = \frac{1}{|A|} {\rm adj} A = \frac{1}{|A|}  ^t|A_{ij}|
# $$
#    * $n$次正方行列が正則(逆行列を持つ)　$　\iff |A| \neq 0$
# 
# * 行列式と階数
# $$
# {\rm rank}A = n \iff Aは正則(逆行列を持つ) \iff |A| \neq 0
# $$

# # 紙
# 
# ![LA-II](./figs/LinearAlgebra-II.png)

# # python

# In[3]:


import numpy as np
from pprint import pprint
import scipy.linalg as linalg
#linear algebra
np.set_printoptions(precision=3, suppress=True)

a = np.array([[1,2],[3,4]])
linalg.det(a)


# In[4]:


linalg.inv(a)


# In[9]:


a = np.array([[1,-2,3],[2,-3,4],[3,-8,13]])
pprint(linalg.det(a))
pprint(linalg.inv(a))


# In[10]:


a = np.array([[1,2,-1],[-1,-1,2],[2,-1,1]])
pprint(linalg.det(a))
pprint(linalg.inv(a))


# In[ ]: