#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8
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# Group works No.1: 恒等式，関数，プロット
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# cc by Shigeto R. Nishitani, 2020-10-08
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# * file: ./math_python/group_works/gw_1_exp_log_ans.ipynb
# 指数，対数の恒等式，関数を題材に，jupyter notebookを使ってpythonでのplotをbrush upしていく様子を見てもらいます．その過程で指数，対数で数値を取ることの意義を理解してもらいます．
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# # 課題1(指数と対数の意味)
# 下の図は
# $10^x$と$1/10^x$を(x,-3,3)で同時にlogplotした結果である．
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# この図の意味を解説せよ．
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# というのが第一目標です．でも，じっと眺めているだけでは何もわかりません．
# ネットにも答えはありません（多分）．
# そこで，いろいろ段階を踏んでこのplotを組み上げていきます．
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# 指数と対数がなぜできたのかを思いだすために，
# $$ \frac{1500 \times 230}{4} $$
# を考えましょう．そのまま計算させてもいいですが，対数とって計算してそれを戻してください．
# ## $2^x$のplot
# 指数関数を思い出してもらうために，まずはベタ打ちです．
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# $2^x$を(x,-3,3)でplotせよ．
# sympyのplotを使ってください．
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# 普通に$2, 2^2, 2^3, 2^4$と確認できますが，$1/2, 1/2^2, 1/2^3$なんかも数値で確認できるでしょう．
# ## $2^x$と$1/2^x$の同時plot
# 2つの関数を同時にplotする練習を兼ねて，
# $2^x$と$1/2^x$を(x,-3,3)で同時にplotせよ．
# `2**x`と`0.5**x`がどういう変化をするかがわかるでしょう．
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# * `2**x`は，xの増加に従って，単調に増加していきます．
# * `2**x`は，xの減少に伴って，単調に減少しますが，これは，`1/2**x`でxを増加していくのと等価です．
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# こうしてx=0に対して対称になっていることが確認できます．
# ## 変数への変換
# 変数にパラメータを入れることで，変更箇所を出来るだけまとめて一般化しましょう．
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# ``` python
# a = 2
# n = 3
# ```
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# として再度同時plotせよ．
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# ここでは出力は変わりません．
# ## $10^x$と$1/10^x$の同時plot
# 先ほど調整した`a,n`を変更するだけで，出力結果が変わることを確認してください．
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# $10^x$と$1/10^x$を(x,-3,3)で同時にplotせよ．
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# グラフの概形が変わっているのに気が付きますか？ 指数の底を2から10に変更することで，
# 変化がより顕著な関数になっていることが確認できます．
# こうなると，小さな値の変化も微妙だし，大きな値の変化もわかりづらくなります．
# # 指数関数の和の公式
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# ## $a^r a^q = a^{r+q}$
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# a=10, r=3, q=-1.5 で $a^r a^q = a^{r+q}$を確認せよ．
# ## 指数関数の解
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# グラフから数値を読み取り，$10^x=150$となる$x$の値を小数点以下2桁で求めよ
# 解を求める関数を使えばすぐですが，グラフを拡大するなどして確認することができます．
# 先ほどの和の公式を使えば，指数関数は単調増加関数なので，正ならどんな実数も表現できることがわかるでしょう．
# # 対数プロット
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# ## logplot
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# ```python
# p.yscale = 'log'
# ```
# を加えて対数プロットを作成せよ．
# ## 手動logplot
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# $\log(a^x,a), \log((1/a)^x,a)$をyscale='linear'でplotせよ．
# 先ほどのlogplotとの違いを指摘せよ．
# $\log_{10} 10^x = x \log_{10} 10 = x$と変形できますよね．
# だから直線になります．
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# さて，以上の変形，誘導をまとめて，先ほどのlogplot図の意図を解説してください．
# # 対数の公式
# ## $\log xy = \log x + \log y$
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# $\log xy = \log x + \log y$を $x=10^2, y = 10^{4}$で確認せよ．
# ## $\log_{10}(10^x10^y)$のplot3d
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# $\log_{10}(10^x10^y)$を (x,-n,n),(y,-n,n)でplotせよ．
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# plot3dはテキストで紹介しているが，例はこんな感じ．
# ``` python
# %matplotlib inline
# from sympy import *
# from sympy.plotting import plot3d
# x,y = symbols('x,y')
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# plot3d(sin(x)*cos(y), (x,-3, 3),(y,-3, 3))
# ```
# ## $\log_{10} 10^x + \log _{10} 10^y$のplot3d
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# $\log_{10} 10^x + \log _{10} 10^y$を (x,-n,n),(y,-n,n)でplotせよ．
# これらの公式から，対数を取ることによって，積の計算が和の計算に変換されることが確認できるでしょう．
# コンピュータが苦手とする大きな数と小さな数の掛け算が，たし算に変換できます．
# AIの中身である確率計算にとっても便利です．
# なぜなら確率は必ず正の値をとり，さらに指数計算が頻出するからです．
# # おまけ(交差エントロピー誤差)
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# 対数を取るのは確率を考えるときに便利と述べました．
# 実際にロジスティック回帰と呼ばれる手法では，確率の対数をとって，
# 交差エントロピー誤差を考えます(p.215-9あたり).
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# その様子を示したのが下のプロットです．
# $$f(x) = (1-x)^3x$$
# に対して$-\log(f(x))$をとり，その様子をplotしています．
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# * 大きな数での変化が緩やかになっていること，
# * 小さな数での変化が大きくなっていること，
# * 最大位置(最小位置)が変わらないこと
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# に注意ください．
# なお，定義域は$0