#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8
# # Table of Contents
#
# # 1(a)
# In[52]:
from sympy import *
init_printing()
t = symbols('t')
# In[53]:
x = cos(t)+t*sin(t)
y = sin(t)-t*cos(t)
# In[54]:
from sympy import *
from sympy.plotting import plot_parametric
p = plot_parametric(x,y,(t,-2*pi,2*pi), show=False)
p.show()
# In[55]:
dx_dt = diff(x,t)
dy_dt = diff(y,t)
# In[56]:
dy_dx = dy_dt/dx_dt
dy_dx
# ## b
# In[57]:
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')
from sympy import *
init_printing()
x = symbols('x')
f11=sin(x)*sin(x)
f23=sin(2*x)*sin(3*x)
f24=sin(2*x)*sin(4*x)
p = plot(f11, f23, f24, (x, -pi, pi), ylim=[-1,1],
legend=True, show=False)
p[0].line_color = 'b'
p[1].line_color = 'r'
p.show()
# $n\neq m$の場合は，位相のずれのために$0\dots-\pi$あるいは$-\pi \dots 0$において正の図形と負の図形がちょうど同じとなるため，積分はゼロとなる．一方$n\neq m$の場合はそれぞれの領域で正となる図形しか現れない．従って，面積を有する．
# # 2(a)
# In[58]:
from sympy import *
A=Matrix([[1,0,-2],[0,2,0],[-2,0,1]])
B=Matrix([[3,0,2],[0,-3,0],[2,0,3]])
pprint(B)
# In[59]:
A*B
# In[60]:
B*A
# In[61]:
PA,D = A.diagonalize()
pprint(PA)
PA.T*A*PA
# In[62]:
PB,D = B.diagonalize()
pprint(PB)
PB.T*B*PB
# In[63]:
PA.T*B*PA
# PAとPBでは行列の列要素が食い違っている．しかし，行列の固有値には順番がないので，食い違いは問題なく，どちらの直交化行列PA, PBを使ってもA,Bは同時に対角化される．
# ## 2(b)
# In[66]:
from sympy import *
A = Matrix([[3,2,2],[2,2,0],[2,0,4]])
A
# In[67]:
x,y,z = symbols('x y z')
xx = Matrix([x,y,z])
# In[72]:
expand(xx.T*A*xx)
# In[117]:
P,D = A.diagonalize()
P
# In[97]:
c0=P[:,0]/P[:,0].norm()
c1=P[:,1]/P[:,1].norm()
c2=P[:,2]/P[:,2].norm()
# In[102]:
PP = c0.col_insert(1,c1).col_insert(2,c2)
PP
# In[120]:
Py = (PP*xx)
Py.T
# In[123]:
expand(Py.T*A*Py)
# # 3(a)
# In[219]:
from sympy import *
init_session()
a,b,c, x = symbols('a b c x')
# In[220]:
a_b_c = 1
ab_bc_ca = -2
abc = -1
# In[221]:
expand((a+b+c)**2-2*(a*b+b*c+c*a))
# In[222]:
a2_b2_c2 = a_b_c**2-2*ab_bc_ca
a2_b2_c2
# $$
# a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) \\
# = 1 - 2(-2) \\
# = 5
# $$
# ア, これをa2_b2_c2とする．
# In[223]:
together(1/a+1/b+1/c)
# In[224]:
a1_b1_c1 = ab_bc_ca/abc
a1_b1_c1
# $$
# \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =
# \frac{ab+bc+ca}{abc} \\
# = \frac{-2}{-1}
# $$
# イ， a1_b1_c1とする．
# In[225]:
expand((1/a+1/b+1/c)**2)
# In[226]:
together(2/(b*c)+2/(a*c)+2/(a*b))
# In[227]:
expand((1/a+1/b+1/c)**2-(2/(b*c)+2/(a*c)+2/(a*b)))
# $$
# \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{a^{2}} =
# \left(
# \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
# \right)^2 - \frac{2(a+b+c)}{abc} \\
# = 2^2-2*1/(-1)
# $$
# ウ，a12_b12_c12とする．
# In[228]:
a12_b12_c12 = a1_b1_c1**2 - 2*(a_b_c)/(abc)
a12_b12_c12
# In[229]:
collect(expand((a*x-1/a)**2+
(b*x-1/b)**2+
(c*x-1/c)**2),x)
# In[230]:
A = a2_b2_c2 * x**2 -6*x + a12_b12_c12
A
# In[231]:
solve(A-7,x)
# こいつはどうしようもない．Aの中に浮動小数点数が入っているので，解析的に求められない．整数の式に書き直して解く．
# In[232]:
solve(5*x**2-6*x-6-7,x)
# ## 3(b)
# In[233]:
from sympy import *
init_session()
a,b,c, x = symbols('a b c x')
# In[234]:
a_b_c = 1.1
ab_bc_ca = -2.2
abc = -1.1
# In[235]:
expand((a+b+c)**2-2*(a*b+b*c+c*a))
# In[236]:
a2_b2_c2 = a_b_c**2-2*ab_bc_ca
a2_b2_c2
# $$
# a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) \\
# = 1 - 2(-2) \\
# = 5
# $$
# ア, これをa2_b2_c2とする．
# In[237]:
together(1/a+1/b+1/c)
# In[238]:
a1_b1_c1 = ab_bc_ca/abc
a1_b1_c1
# $$
# \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =
# \frac{ab+bc+ca}{abc} \\
# = \frac{-2}{-1}
# $$
# イ， a1_b1_c1とする．
# In[239]:
expand((1/a+1/b+1/c)**2)
# In[240]:
together(2/(b*c)+2/(a*c)+2/(a*b))
# In[241]:
expand((1/a+1/b+1/c)**2-(2/(b*c)+2/(a*c)+2/(a*b)))
# $$
# \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{a^{2}} =
# \left(
# \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
# \right)^2 - \frac{2(a+b+c)}{abc} \\
# = 2^2-2*1/(-1)
# $$
# ウ，a12_b12_c12とする．
# In[242]:
a12_b12_c12 = a1_b1_c1**2 - 2*(a_b_c)/(abc)
a12_b12_c12
# In[243]:
collect(expand((a*x-1/a)**2+
(b*x-1/b)**2+
(c*x-1/c)**2),x)
# In[244]:
A = a2_b2_c2 * x**2 -6*x + a12_b12_c12
A
# In[245]:
solve(A-7,x)
# In[ ]: