#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Marketinška strategija
# 
# Podjetje bo kmalu uvedlo nov izdelek na zelo konkurenčen trg,
# zato trenutno pripravlja marketinško strategijo.
# Odločili so se, da bodo izdelek uvedli v treh fazah.
# V prvi fazi bodo pripravili posebno začetno ponudbo z močno znižano ceno,
# da bi privabili zgodnje kupce.
# Druga faza bo vključevala intenzivno oglaševalsko kampanjo,
# da bi zgodnje kupce prepričali, naj izdelek še vedno kupujejo po redni ceni.
# Znano je, da bo ob koncu druge faze
# konkurenčno podjetje predstavilo svoj izdelek.
# Zato bo v tretji fazi okrepljeno oglaševanje z namenom,
# da bi preprečili beg strank h konkurenci.
# 
# Podjetje ima za oglaševanje na voljo $4$ milijone evrov,
# ki jih želimo čim bolj učinkovito porabiti.
# Naj bo $m$ tržni delež v procentih, pridobljen v prvi fazi,
# $f_2$ delež, ohranjen po drugi fazi,
# in $f_3$ delež, ohranjen po tretji fazi.
# Maksimizirati želimo končni tržni delež, torej količino $m f_2 f_3$.
# 
# Denimo, da lahko v vsaki fazi porabimo poljubno pozitivno količino denarja
# (seveda glede na omejitev skupne porabe).
# Naj bodo torej $x_1$, $x_2$ in $x_3$ količine denarja v milijonih evrov,
# ki jih porabimo v prvi, drugi in tretji fazi.
# Vpliv na tržni delež je podan s formulami
# $$
# m = x_1 (10 - x_1), \quad
# f_2 = 0.4 + 0.1 x_2, \quad \text{in} \quad
# f_3 = 0.6 + 0.07 x_3 .
# $$
# Kako naj razdelimo sredstva?

# Najprej si pripravimo spremenljivke.

# In[1]:


x1, x2, x3, z = var('x1 x2 x3 z') # z leži na intervalu [0, 4]
res = [x1, x2, x3]


# Najprej poiščimo maksimum izraza $f_3$, če vrednost $x_3$ leži na intervalu $[0, z]$.
# Ker je $f_3$ linearen v $x_3$ s pozitivnim smernim koeficientom, maksimum leži na desnem robu intervala, torej pri $x_3 = z$.

# In[2]:


f3 = 0.6 + 0.07*x3
p3 = f3.subs(x3 == z)
res = [x.subs(x3 == z) for x in res]


# Sedaj določimo $p_2(z)$, torej maksimalno vrednost produkta $f_2 f_3$, če v drugo in tretjo fazo skupaj vložimo znesek $z$.

# In[3]:


p2 = (0.4 + 0.1*x2) * p3.subs(z == z-x2)
p2.expand()


# Opazimo, da dobimo kvadratno funkcijo v $x_2$ z negativnim vodilnim koeficientom.
# Maksimum bomo torej poiskali tako, da bomo poiskali ničlo odvoda in preverili, če leži v intervalu $[0, z]$.

# In[4]:


sol2 = solve(p2.derivative(x2) == 0, x2)
sol2


# Pri vseh $z \ge 0$ bo maksimum dosežen pri nekem $x_2 > 0$.
# Poglejmo, kdaj bo veljalo $x_2 \le z$.

# In[5]:


sz2 = (x2 <= z).subs(sol2).solve(z)
(sz2, sz2[0][0].rhs().n())


# Vidimo, da bo pri vseh $0 \le z \le 4$ maksimum funkcije dosežen desno od intervala $[0, 4]$.
# Tako sklenemo, da $p_2(z)$ maksimiziramo tako, da izberemo $x_2 = z$ - v tretjo fazo torej ne vlagamo ničesar.

# In[6]:


p2 = p2.subs(x2 == z)
res = [x.subs(z == 0, x2 == z) for x in res]
p2


# Poiščimo še maksimum izraza $p_1(4) = m f_1 f_2$, torej končnega tržnega deleža ob skupnem vložku $4$.

# In[7]:


p1 = x1*(10-x1) * p2.subs(z == 4-x1)
p1.expand()


# Opazimo, da dobimo kubično funkcijo v $x_1$ s pozitivnim vodilnim koeficientom.
# Da poiščemo maksimum, bomo spet poiskali ničle odvoda.

# In[8]:


sol1 = solve(p1.derivative(x1) == 0, x1)
(sol1, [e.rhs().n() for e in sol1])


# Ker je manjša od ničel znotraj intervala $[0, 4]$, potem je tam tudi maksimum funkcije.

# In[9]:


p1 = p1.subs(sol1[0])
res = [x.subs(z == 4-x1).subs(sol1[0]) for x in res]


# Izpišimo še vrednost optimalne rešitve ter sredstva za vsako fazo.

# In[10]:


print(p1.expand(), p1.n())
print(res)
print([n(x) for x in res])