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# coding: utf-8

# # Curvas no espaço
# 
# Vimos que as curvas no plano são essencialmente definidas por sua curvatura. Porém, isso não é verdade no espaço. Considere, por exemplo, a hélice circular 
# $$
# \alpha(t) = \left(\frac{1}{2}\cos(t), \frac{1}{2}\sin(t), \frac{1}{2}t\right)
# $$
# Ela está parametrizada pelo comprimento de arco. Então, se formos calcular a curvatura (usando a mesma noção de curvas planas), teremos que 
# $$
# \kappa_{\alpha}(t) = ||\alpha''(t)|| = 1
# $$
# Entretanto, a hélice não é uma circunferência de raio 1! Para isso, vamos precisar introduzir o conceito de **torção**. Veja também que não é possível definir uma função ângulo! Então, **curvatura com sinal** é um conceito vago no espaço. Assim, para lembrar, definimos curvatura para uma curva parametrizada pelo comprimento de arco no espaço como 
# 
# $$
# \kappa_{\alpha}(t) = ||\alpha''(t)||
# $$
# 
# Se a curva $\alpha$ é regular qualquer, seja $\beta = \alpha \circ h$ uma reparametrização pelo comprimento de arco. Definimos a curvatura de $\alpha$ como 
# $$
# \kappa_{\alpha}(t) = \kappa_{\beta}(h^{-1}(t))
# $$
# Em particular, teremos que 
# $$
# \kappa_{\alpha}(t) = \frac{||\alpha'(t) \times \alpha''(t)||}{||\alpha'(t)||^3}
# $$

# Dizemos que uma curva $\alpha$ é **2-regular** (ou regular de sgunda ordem) quando os vetores $\alpha'(t)$ e $\alpha''(t)$ são linearmente independentes para todo $t$. Se a curva for parametrizada pelo comprimento de arco, isso equivale a dizer que $\alpha'' \neq 0$ (verifique!). Se a curva for regular, isso é equivalente a provar que $\kappa_{\alpha}(t) > 0$ (verifique!). 

# ## Triedo de Frenet
# 
# Já vimos que não faz sentido rotacionar o vetor tangente. Por isso, definimos o vetor **normal principal** de uma curva $\alpha$ parametrizada pelo comprimento de arco como 
# $$
# N(s) = \frac{1}{\kappa_{\alpha}(s)}(\dot{T}(s))
# $$
# onde $T(s) = \alpha'(s)$. Veja que ambos os vetores são unitários e ortogonais (quando a curva é parametrizada pelo comprimento de arco, a primeira e segunda derivadas são ortogonais). Definimos, então o vetor **binormal** como 
# $$
# B(s) = T(s) \times N(s)
# $$
# De fato $B$ é ortogonal a $T$ e a $N$ e, além disso, 
# $$
# ||B(s)|| = ||T(s)||||N(s)|| - 2\langle T(s), N(s) \rangle = 1
# $$
# 
# Definimos, portanto, uma base ortonormal $\{T(s), N(s), B(s)\}$ para $\mathbb{R}^3$. 

# ## Torção
# 
# Observe que 
# $$
# \dot{B}(s) = \dot{T}(s) \times N(s) + T(s) \times \dot{N}(s)
# $$
# 
# Como $\dot{T}(s) \parallel N(s)$m, então 
# 
# $$
# \dot{B}(s) = T(s) \times \dot{N}(s)
# $$
# 
# Como $B(s)$ é um vetor unitário, $B(s) \perp \dot{B}(s)$ (veja que isso acontece com qualquer função vetorial unitária). Além disso $\dot{B}(s) \perp T(s)$ pela equação acima. Pelo Triedro de Frenet, 
# 
# $$
# \dot{B}(s) \perp N(s) \implies \dot{B}(s) = \tau(s)N(s)
# $$
# 
# chamamos $\tau$ de torção. Alguns livros, $\tau$ tem o sinal oposto (mas isso é só questão de convenção e não trás problemas teóricos. Mais uma vez, se a curva $\alpha$ é uma curva regular, tomamos uma reparametrização pelo comprimento de arco $\beta = \alpha \circ h$ e 
# 
# $$
# \tau_{\alpha}(s) = \tau_{\beta}(h^{-1}(s))
# $$
# Em especial 
# $$
# \tau = \frac{\langle \dot{\alpha} \times \ddot{\alpha}, \dddot{\alpha} \rangle}{||\dot{\alpha}\times\ddot{\alpha}||^2}
# $$
# 

# ## Equações de Frenet
# 
# Já sabemos que $\dot{T}(s) = \kappa_{\alpha}(s)N(s)$ e $\dot{B}(s) = \tau_{\alpha}(s)N(s)$. Agora, vamos calcular $\dot{N}(s)$. Sabemos que 
# 
# $$
# B = T \times N \implies N = B \times T \implies \dot{N}(s) = \dot{B}(s) \times T(s) + B(s) \times \dot{T}(s)
# $$
# 
# Portanto, 
# $$
# \dot{N}(s) = \tau_{\alpha} N(s) \times T(s) + \kappa_{\alpha} B(s) \times N(s) = -\tau_{\alpha} B(s) - \kappa_{\alpha} T(s)
# $$
# 
# Chegamos então que, se $\alpha$ é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco regular de ordem 2, então
# 
# $
# \dot{T} = \kappa N
# $
# 
# $
# \dot{N} = - \kappa T - \tau B
# $
# 
# $
# \dot{B} = \tau N
# $
# 
# Observe que se $x(s) = (T(s), N(s), B(s)) \in \mathbb{R}^9, \dot{x}(s) = Ax(s)$, onde 
# 
# $$
# A = \begin{bmatrix}
# 0_{3\times 3}         & \kappa I_{3\times 3} & 0_{3\times 3}       \\
# -\kappa I_{3\times 3} & 0_{3\times 3}        & -\tau I_{3\times 3} \\
# 0_{3\times 3}         & \tau I_{3\times 3}   & 0_{3\times 3}
# \end{bmatrix}
# $$
# 
# Para curvas regulares quaisquer, a definição se dá usando a inversa do comprimento de arco, como fizemos com a curvatura e a torção. 

# ## Planos 
# 
# **Plano Osculador:** Determinado pelos vetores tangente e normal. O vetor binormal é normal ao plano osculador e, portanto, podemos escrever sua equação como $(x - \alpha(s))\cdot B(s) = 0$. 
# 
# **Plano Normal:** Plano determinado pelos vetores normal e binormal. 
# 
# **Plano Retificante:** Plano determinando pelos vetores tangente e normal. 
# 
# Alguns simples desenhos podem ser vistos [nesse site](http://mathonline.wikidot.com/normal-rectifying-and-osculating-planes). 

# ## Consequências 
# 
# ### Curva plana e torção nula
# 
# Seja $\alpha : I \to \mathbb{R}^3$ uma curva 2-regular, parametrizada por comprimento de arco. Então, $\alpha$ é plana se, e somente se, sua torção $\tau_{\alpha}$ é identicamente nula.
# 
# > A demonstração desse fato se divide na ida e volta. Supondo que a curva seja plana, devemos inserir a curva em um plano. Assim, para cada $s \in I, \langle \alpha(s) - p, v \rangle = 0$ para algum $p$ nesse plano. Em particular, obtermos que $v = \pm B_{\alpha}(s)$, pois obteremos, derivando, que a tangente e a normal são ortogonais a $v$. Nesse caso $B'_{\alpha}(s) = 0$, pois esse vetor será constante. A recíproca usa o fato que $B_{\alpha}(s)$ será constante e quer se provar que $f(s) = \langle \alpha(s) - \alpha(s_0), B_{\alpha}(s) \rangle \equiv 0$.  
# 
# ### Circunferência e curvatura constante 
# 
# Seja $\alpha$ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco em $\mathbb{R}^3$ com consntate curvatura e torção nula. Então $\alpha$ é parametrização de (parte de) um círculo. 
# 
# > Sabemos pelo item anterior que estaremos em um plano. A ideia é provar que $\alpha - \frac{1}{\kappa_{\alpha}}n$ é um vetor constante para provarmos que a curva está contida em uma esfera. Assim, basta provar que a curva está contida na intersecção de uma esfera e um plano. 
# 
# ## Teorema Fundamental da Teoria Local das Curvas Espaciais
# 
# Sejam $\alpha(s)$ e $\gamma(s)$ duas curvas parametrizadas pelo comprimento de arco em $\mathbb{R}^3$ com a mesma curvatura $\kappa(s) > 0$ e a mesma torção $\tau(s), \forall s$. Então, existe um movimento rígido direto $M$ tal que $\alpha(s) = M(\gamma(s)), \forall s$. Além disso, se $\kappa$ e $\tau$ são funções suaves, tal que $\kappa > 0$ em toda parte, existe uma curva parametrizada pelo comprimento de arco em $\mathbb{R}^3$ cuja curvatura é $\kappa$ e cuja torção é $\tau$. 
# 
# > A demonstração desse teorema super importante pode ser encontrada na página 52 do livro do Pressley de Introdução à Geometria Diferencial. É uma aplicação do Teorema da Existência e Unicidade de Equações Diferenciais nas Equações de Frenet-Sarret.