#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # TP 1 : découverte de SageMath

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# Pour améliorer l'affichage dans ce TP :
get_ipython().run_line_magic('display', 'latex')


# ## Quelques calculs

# ### Question
# 1. Calculer $25/7 + 1/134$ de manière exacte. En déduire une approximation avec 10 bits de précision, puis avec 100 bits de précision. *Utiliser `v.n(b)` pour connaître `v` avec `b` bits de précision.*
# 1. Calculer $\cos(\pi/6)$ de manière exacte, puis approchée avec 10 bits de précision.

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# ### Question
# On cherche à déterminer la valeur de $(1-i)^k$ pour tout $k≥0$, où $i^2=-1$. *La constante $i$ s'obtient avec `i` ou `I`. Si on a effacé sa valeur (en utilisant `i` et `I` comme variables), on peut la retrouver avec `SR('I')`.*
#    
# 1. Calculer la liste $L$ des $(1-i)^k$ pour $k = 0$ à $10$.
# 2. Afficher pour chaque élément de $L$ son module. Conjecturer sa valeur en fonction de $k$. *On obtient le module avec `abs(z)`.*
# 3. Afficher pour chaque élément de $L$ son argument. Conjecturer sa valeur en fonction de $k$. *On obtient l'argument avec `arg(z)`.*
# 4. Un nombre complexe $z$ de module $\rho$ et d'argument $\theta$ s'écrit $z = \rho e^{i\theta}$. Vérifier vos conjectures pour le module et l'argument en définissant une fonction $z(k)$ et en testant si $z(k) = (1-i)^k$ pour tout $k$ entre $0$ et $100$. *On pourra utiliser le mot-clef Python `all`.*
# 5. Vérifier *formellement* vos conjectures. *On définira $k$ comme une variable symbolique avec `var('k')`.*

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# ### Question
# Est-ce que tous les entiers de la forme $2^{2^n}+1$ sont premiers ?

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# ### Question
# On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{1+u_n}$. 
# 1. Calculer numériquement les $10$ premiers termes de la suite, et conjecturer son comportement.
# 2. Tester d'autres valeurs pour $u_0$. Le comportement de la suite change-t-il ?

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# ### Question
# On définit la fonction $f(x) = \sin(x)\exp(x)$. 
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# 1. Tracer la courbe de $f$ pour $x$ entre $-3$ et $3$, puis $x$ entre $0$ et $10$.
# 1. Quelle est la limite de $f$ en $-\infty$ ? *Utiliser `f.limit(...)`.*
# 1. La fonction a-t-elle une limite en $+\infty$ ?
# 1. Trouver tous les points $x < 10$ tels que $f(x) = 0$. *Utiliser `find_root`. Attention, cette fonction ne renvoie qu'**une** racine !*
# 1. Quelle est la réponse théorique (facile) à la question précédente ?

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# ### Question
# On définit le polynôme 
# $$P(X) = \frac{(X-a)(X-b)}{(c-a)(c-b)} +  \frac{(X-a)(X-c)}{(b-a)(b-c)} + \frac{(X-b)(X-c)}{(a-b)(a-c)}-1.$$
# 1. Définir les variables `a`, `b` et `c` et le polynôme $P(X)$.
# 1. Calculer $P(a)$, $P(b)$ et $P(c)$.
# 1. Calculer le degré du polynôme $P$.
# 1. Un polynôme de degré $d$ a au plus $d$ racines. Expliquer d'où vient la contradiction apparente des deux questions précédentes. *Trouver une autre forme pour $P(X)$.*

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# ### Question
# Soit $C$ la courbe du plan définie par
# $$\begin{cases}
#     x(t) & = t^3-2t\\
#     y(t) & = t^2-t
# \end{cases}$$
# pour $t\in\mathbb{R}$.
# 
# 1. Définir les fonctions $x(t)$ et $y(t)$.
# 1. Tracer la courbe $C$ à l'aide de `parametric_plot`. *Trouver des bornes sur $t$ pour que la représentation soit « intéressante »*.
# 1. Déterminer les valeurs de $t$ auxquelles la courbe coupe l'axe des abscisses, et celui des ordonnées. En déduire les coordonnées auxquelles la courbe coupe chacun des axes. *Utiliser `solve`. On peut extraire la « partie droite » d'une équation `eq` avec `eq.rhs()` (rhs = right-hand side).*
# 1. Déterminer les points du plan où la courbe admet une tangente horizontale, et ceux où elle admet une tangente verticale. *Utiliser les dérivées de $x(t)$ et $y(t)$.*
# 1. Déterminer les *points doubles* (points par lesquels la courbe passe deux fois). *Il faut déterminer les couples $(s,t)$ tels que $x(s) = x(t)$ et $y(s) = y(t)$ (et $s\neq t$). Pour cela, on peut résoudre $(x(s)-x(t))/(s-t) = 0$ et $(y(s)-y(t))/(s-t) = 0$.*
# 1. Représenter, sur un même graphique, la courbe $C$, et les différents points déterminés dans les questions précédentes, en les distinguant par des couleurs différentes. *`point((x,y), color='...', size='...')` permet de tracer un point de coordonnées $(x,y)$ avec la couleur souhaitée et une taille souhaitée. De même, `points(L, ...)` trace une liste de points. On peut superposer des graphiques en effectuant leur somme.*

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# ### Question
# On veut résoudre le problème suivant, posé comme énigme dans le journal Le Monde :
# > Quel est la taille maximale d'un ensemble $X$ d'entiers compris entre $1$ et $100$ tels que quelque soit $a$ et $b\in X$, $a-b$ n'est pas un carré parfait ?
# 
# On modélise le problème par un graphe $G$ dont les sommets sont les entiers entre $1$ et $100$, et il y a une arête entre deux sommets si leur différence n'est pas un carré.
# 
# 1. Trouver comment tester si un entier $k$ est un carré. *Définir un entier `k` puis explorer les méthodes associées à `k` en tapant `k.<tab>`¹. En général, les méthodes pour tester une propriété s'appellent `is_...`.*
# 1. Définir l'ensemble des arêtes comme la liste des couples $(i,j)$, $1≤i<j≤100$, tels que $j-i$ n'est pas un carré. 
# 1. Définir un graphe vide $G$ (`Graph()`), puis ajouter les arêtes définies à la question précédente (`G.add_edges(...)`).
# 1. La question posée dans l'énigme revient à trouver une *clique* la plus grande possible dans $G$, c'est-à-dire un sous-ensemble des sommets de $G$ tel qu'il y a une arête entre chaque couple de sommets. Calculer une clique maximale. *Chercher avec `G.<tab>` une méthode pour calculer une clique maximale. On peut également chercher en faisant par exemple `G.cl<tab>` pour avoir toutes les méthodes qui commencent par `cl`.*
# 1. On généralise le problème en remplaçant $100$ par un entier $n$ quelconque. Observer la croissance de la taille du plus grand ensemble en fonction de $n$.
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# ¹ `<tab>` veut dire « appuyer sur tabulation », il ne faut pas taper ces 5 caractères !

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# ## Un problème
# <small>Problème inspiré de : C. Gomez, B. Salvy, et P. Zimmermann, *Calcul formel: mode d’emploi ; exemples en Maple*. Masson, 1995.</small>
# 

# ![Figure](data:image/svg+xml;base64,PD94bWwgdmVyc2lvbj0iMS4wIiBlbmNvZGluZz0iVVRGLTgiIHN0YW5kYWxvbmU9Im5vIj8%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%2BPHBhdGgKICAgICAgICAgdHJhbnNmb3JtPSJtYXRyaXgoLTAuOCwwLDAsLTAuOCwtMTAsMCkiCiAgICAgICAgIHN0eWxlPSJmaWxsOmNvbnRleHQtc3Ryb2tlO2ZpbGwtcnVsZTpldmVub2RkO3N0cm9rZTpjb250ZXh0LXN0cm9rZTtzdHJva2Utd2lkdGg6MXB0IgogICAgICAgICBkPSJNIDAsMCA1LC01IC0xMi41LDAgNSw1IFoiCiAgICAgICAgIGlkPSJwYXRoMjA5NyIgLz48L21hcmtlcj48Y2xpcFBhdGgKICAgICAgIGNsaXBQYXRoVW5pdHM9InVzZXJTcGFjZU9uVXNlIgogICAgICAgaWQ9ImNsaXBQYXRoODgyIj48cGF0aAogICAgICAgICBkPSJNIDAsMCBIIDI0MyBWIDIxMyBIIDAgWiIKICAgICAgICAgaWQ9InBhdGg4ODAiIC8%2BPC9jbGlwUGF0aD48Y2xpcFBhdGgKICAgICAgIGNsaXBQYXRoVW5pdHM9InVzZXJTcGFjZU9uVXNlIgogICAgICAgaWQ9ImNsaXBQYXRoODk4Ij48cGF0aAogICAgICAgICBkPSJNIDAsMjEzMCBWIDAgSCAyNDMwIFYgMjEzMCBaIE0gMjI1Mi4yLDEwMzAgSCAyNDI1IHYgNzIgaCAtMTcyLjggdiAwIGwgMTQ0LC0zNiB6IgogICAgICAgICBjbGlwLXJ1bGU9ImV2ZW5vZGQiCiAgICAgICAgIGlkPSJwYXRoODk2IiAvPjwvY2xpcFBhdGg%2BPGNsaXBQYXRoCiAgICAgICBjbGlwUGF0aFVuaXRzPSJ1c2VyU3BhY2VPblVzZSIKICAgICAgIGlkPSJjbGlwUGF0aDkxMCI%2BPHBhdGgKICAgICAgICAgZD0iTSAwLDIxMzAgViAwIEggMjQzMCBWIDIxMzAgWiBNIDEwOTMsMTk0Ni4yIFYgMjExOSBoIC03MiB2IC0xNzIuOCAwIGwgMzYsMTQ0IHoiCiAgICAgICAgIGNsaXAtcnVsZT0iZXZlbm9kZCIKICAgICAgICAgaWQ9InBhdGg5MDgiIC8%2BPC9jbGlwUGF0aD48bWFya2VyCiAgICAgICBzdHlsZT0ib3ZlcmZsb3c6dmlzaWJsZSIKICAgICAgIGlkPSJBcnJvdzFNZW5kLTAiCiAgICAgICByZWZYPSIwIgogICAgICAgcmVmWT0iMCIKICAgICAgIG9yaWVudD0iYXV0byI%2BPHBhdGgKICAgICAgICAgdHJhbnNmb3JtPSJtYXRyaXgoLTAuNCwwLDAsLTAuNCwtNCwwKSIKICAgICAgICAgc3R5bGU9ImZpbGw6Y29udGV4dC1zdHJva2U7ZmlsbC1ydWxlOmV2ZW5vZGQ7c3Ryb2tlOmNvbnRleHQtc3Ryb2tlO3N0cm9rZS13aWR0aDoxcHQiCiAgICAgICAgIGQ9Ik0gMCwwIDUsLTUgLTEyLjUsMCA1LDUgWiIKICAgICAgICAgaWQ9InBhdGgyMTAzLTQiIC8%2BPC9tYXJrZXI%2BPC9kZWZzPjxnCiAgICAgaWQ9Imc4NjAiCiAgICAgdHJhbnNmb3JtPSJtYXRyaXgoMS4zMzMzMzMzLDAsMCwtMS4zMzMzMzMzLC0xMjUuNDczNTQsMTAyNy4wMjY5KSI%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%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%2BPHBhdGgKICAgICAgIGQ9Im0gNTExLjkzNzY4LDU3Mi4xNDE0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# L'objectif du problème est de déterminer une expression pour l'aire de l'intersection des deux cercles rouge et bleu. Les points de la figure sont définis de la manière suivante :
# - le cercle $C_1$ (rouge) est un cercle de rayon $R_1$ centré en l'origine $O$ ;
# - le cercle $C_2$ (bleu) est un cercle de rayon $R_2$ dont le centre est à l'intersection $O_2$ entre l'axe des abscisses et le cercle $C_1$ ;
# - $I$ et $J$ sont les points d'intersection de $C_1$ et $C_2$ ;
# - $H$ est l'intersection entre le segment $[IJ]$ et l'axe des abscisses, $[IJ]$ étant vertical ;
# - $\theta_1$ est l'angle $\widehat{IOH}$ et $\theta_2$ l'angle $\widehat{IO_2H}$.
# 
# Pour calculer l'aire de l'intersection des deux cercles, on utilise l'idée suivante, illustrée ci-dessous. Le segment $[IJ]$ coupe la zone d'intersection en deux. L'aire de la partie droite s'obtient comme la différence entre l'aire du *secteur angulaire* $OIJ$ du cercle $C_1$ (zone rouge) et le triangle $OIJ$. Celle de la partie gauche s'obtient comme la différence entre l'aire du *secteur angulaire* $O_2IJ$ du cercle $C_2$ (zone bleue) et le triangle $O_2IJ$. 

# ![Calcul](data:image/svg+xml;base64,PD94bWwgdmVyc2lvbj0iMS4wIiBlbmNvZGluZz0iVVRGLTgiIHN0YW5kYWxvbmU9Im5vIj8%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%2BPGRlZnMKICAgICBpZD0iZGVmczg1OCI%2BPGxpbmVhckdyYWRpZW50CiAgICAgICBpZD0ibGluZWFyR3JhZGllbnQ0NDIzNCIKICAgICAgIGlua3NjYXBlOnN3YXRjaD0ic29saWQiPjxzdG9wCiAgICAgICAgIHN0eWxlPSJzdG9wLWNvbG9yOiMxYTVmYjQ7c3RvcC1vcGFjaXR5OjE7IgogICAgICAgICBvZmZzZXQ9IjAiCiAgICAgICAgIGlkPSJzdG9wNDQyMzIiIC8%2BPC9saW5lYXJHcmFkaWVudD48bWFya2VyCiAgICAgICBzdHlsZT0ib3ZlcmZsb3c6dmlzaWJsZSIKICAgICAgIGlkPSJBcnJvdzFNZW5kIgogICAgICAgcmVmWD0iMCIKICAgICAgIHJlZlk9IjAiCiAgICAgICBvcmllbnQ9ImF1dG8iCiAgICAgICBpbmtzY2FwZTpzdG9ja2lkPSJBcnJvdzFNZW5kIgogICAgICAgaW5rc2NhcGU6aXNzdG9jaz0idHJ1ZSI%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%2BPHBhdGgKICAgICAgICAgdHJhbnNmb3JtPSJtYXRyaXgoLTAuOCwwLDAsLTAuOCwtMTAsMCkiCiAgICAgICAgIHN0eWxlPSJmaWxsOmNvbnRleHQtc3Ryb2tlO2ZpbGwtcnVsZTpldmVub2RkO3N0cm9rZTpjb250ZXh0LXN0cm9rZTtzdHJva2Utd2lkdGg6MXB0IgogICAgICAgICBkPSJNIDAsMCA1LC01IC0xMi41LDAgNSw1IFoiCiAgICAgICAgIGlkPSJwYXRoMjA5NyIgLz48L21hcmtlcj48Y2xpcFBhdGgKICAgICAgIGNsaXBQYXRoVW5pdHM9InVzZXJTcGFjZU9uVXNlIgogICAgICAgaWQ9ImNsaXBQYXRoODgyIj48cGF0aAogICAgICAgICBkPSJNIDAsMCBIIDI0MyBWIDIxMyBIIDAgWiIKICAgICAgICAgaWQ9InBhdGg4ODAiIC8%2BPC9jbGlwUGF0aD48Y2xpcFBhdGgKICAgICAgIGNsaXBQYXRoVW5pdHM9InVzZXJTcGFjZU9uVXNlIgogICAgICAgaWQ9ImNsaXBQYXRoODk4Ij48cGF0aAogICAgICAgICBkPSJNIDAsMjEzMCBWIDAgSCAyNDMwIFYgMjEzMCBaIE0gMjI1Mi4yLDEwMzAgSCAyNDI1IHYgNzIgaCAtMTcyLjggdiAwIGwgMTQ0LC0zNiB6IgogICAgICAgICBjbGlwLXJ1bGU9ImV2ZW5vZGQiCiAgICAgICAgIGlkPSJwYXRoODk2IiAvPjwvY2xpcFBhdGg%2BPGNsaXBQYXRoCiAgICAgICBjbGlwUGF0aFVuaXRzPSJ1c2VyU3BhY2VPblVzZSIKICAgICAgIGlkPSJjbGlwUGF0aDkxMCI%2BPHBhdGgKICAgICAgICAgZD0iTSAwLDIxMzAgViAwIEggMjQzMCBWIDIxMzAgWiBNIDEwOTMsMTk0Ni4yIFYgMjExOSBoIC03MiB2IC0xNzIuOCAwIGwgMzYsMTQ0IHoiCiAgICAgICAgIGNsaXAtcnVsZT0iZXZlbm9kZCIKICAgICAgICAgaWQ9InBhdGg5MDgiIC8%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%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NTY4LjM2MTIgMTAyNS45MDksNTE0LjY3MDEyIFoiCiAgICAgICBzb2RpcG9kaTpub2RldHlwZXM9ImNjY2MiIC8%2BPGcKICAgICAgIGFyaWEtbGFiZWw9IigiCiAgICAgICB0cmFuc2Zvcm09InNjYWxlKDAuNDY0MDMwNTksLTIuMTU1MDMwMykiCiAgICAgICBpZD0idGV4dDgyNjMtMyIKICAgICAgIHN0eWxlPSJmb250LXdlaWdodDpib2xkO2ZvbnQtc2l6ZTo2MHB4O2xpbmUtaGVpZ2h0OjEwMCU7LWlua3NjYXBlLWZvbnQtc3BlY2lmaWNhdGlvbjonc2Fucy1zZXJpZiBCb2xkJztsZXR0ZXItc3BhY2luZzowcHg7d29yZC1zcGFjaW5nOjBweDtzdHJva2Utd2lkdGg6MC43NTAwMDNweCIgLz48dGV4dAogICAgICAgeG1sOnNwYWNlPSJwcmVzZXJ2ZSIKICAgICAgIHN0eWxlPSJmb250LXN0eWxlOm5vcm1hbDtmb250LXZhcmlhbnQ6bm9ybWFsO2ZvbnQtd2VpZ2h0OmJvbGQ7Zm9udC1zdHJldGNoOm5vcm1hbDtmb250LXNpemU6MjQuODY4N3B4O2xpbmUtaGVpZ2h0OjEwMCU7Zm9udC1mYW1pbHk6c2Fucy1zZXJpZjstaW5rc2NhcGUtZm9udC1zcGVjaWZpY2F0aW9uOidzYW5zLXNlcmlmIEJvbGQnO2xldHRlci1zcGFjaW5nOjBweDt3b3JkLXNwYWNpbmc6MHB4O2ZpbGw6IzAwMDAwMDtzdHJva2U6bm9uZTtzdHJva2Utd2lkdGg6MC43NTAwMDJweDtzdHJva2UtbGluZWNhcDpidXR0O3N0cm9rZS1saW5lam9pbjptaXRlcjtzdHJva2Utb3BhY2l0eToxIgogICAgICAgeD0iOTYxLjMyMzg1IgogICAgICAgeT0iLTU2My41MjEzNiIKICAgICAgIGlkPSJ0ZXh0ODI2My01LTctNCIKICAgICAgIHRyYW5zZm9ybT0ic2NhbGUoMS4wMDM0NzAyLC0wLjk5NjU0MTgpIj48dHNwYW4KICAgICAgICAgc29kaXBvZGk6cm9sZT0ibGluZSIKICAgICAgICAgaWQ9InRzcGFuODI2MS02LTQtNCIKICAgICAgICAgc3R5bGU9ImZvbnQtc3R5bGU6bm9ybWFsO2ZvbnQtdmFyaWFudDpub3JtYWw7Zm9udC13ZWlnaHQ6Ym9sZDtmb250LXN0cmV0Y2g6bm9ybWFsO2ZvbnQtc2l6ZToyNC44Njg3cHg7Zm9udC1mYW1pbHk6c2Fucy1zZXJpZjstaW5rc2NhcGUtZm9udC1zcGVjaWZpY2F0aW9uOidzYW5zLXNlcmlmIEJvbGQnO2ZpbGw6IzAwMDAwMDtzdHJva2U6bm9uZTtzdHJva2Utd2lkdGg6MC43NTAwMDJweCIKICAgICAgICAgeD0iOTYxLjMyMzg1IgogICAgICAgICB5PSItNTYzLjUyMTM2Ij7igJM8L3RzcGFuPjwvdGV4dD48cGF0aAogICAgICAgaWQ9InBhdGg4OTAtOTYtOTMiCiAgICAgICBzdHlsZT0iZmlsbDojMWE1ZmI0O2ZpbGwtb3BhY2l0eTowLjU7c3Ryb2tlOiMxYzcxZDg7c3Ryb2tlLXdpZHRoOjAuOTtzdHJva2UtbGluZWNhcDpidXR0O3N0cm9rZS1saW5lam9pbjptaXRlcjtzdHJva2UtbWl0ZXJsaW1pdDoxMDtzdHJva2UtZGFzaGFycmF5Om5vbmU7c3Ryb2tlLW9wYWNpdHk6MSIKICAgICAgIGQ9Im0gMTEyMC4yOSw2MjIuMDU3MjUgYyAtMTkuODM0LC05Ljg0MjYzIC0zMy40NTM2LC0zMC4xOTE4NCAtMzMuNDUzNiwtNTMuNjk4MDYgMCwtMjMuNDg1ODUgMTMuNTk1OCwtNDMuODIwNjMgMzMuNDAxNiwtNTMuNjcyOTQgMC4wMTcsLTAuMDA5IDAuMDM1LC0wLjAxNTQgMC4wNTIsLTAuMDIzNyBsIDI2LjEzMzQsNTMuNjk2NjYgeiIgLz48cGF0aAogICAgICAgaWQ9InBhdGg4OTAtOTYtNiIKICAgICAgIHN0eWxlPSJmb250LXZhcmlhdGlvbi1zZXR0aW5nczpub3JtYWw7dmVjdG9yLWVmZmVjdDpub25lO2ZpbGw6IzFhNWZiNDtmaWxsLW9wYWNpdHk6MC41O3N0cm9rZTojMWM3MWQ4O3N0cm9rZS13aWR0aDowLjk7c3Ryb2tlLWxpbmVjYXA6YnV0dDtzdHJva2UtbGluZWpvaW46bWl0ZXI7c3Ryb2tlLW1pdGVybGltaXQ6MTA7c3Ryb2tlLWRhc2hhcnJheTpub25lO3N0cm9rZS1kYXNob2Zmc2V0OjA7c3Ryb2tlLW9wYWNpdHk6MTstaW5rc2NhcGUtc3Ryb2tlOm5vbmU7c3RvcC1jb2xvcjojMDAwMDAwIgogICAgICAgZD0ibSAxMTc3LjU0NTUsNjIxLjM4NDA3IC0wLjA1MiwtMTA3LjM3MSBjIDAuMDE3LC0wLjAwOSAwLjAzNSwtMC4wMTU0IDAuMDUyLC0wLjAyMzcgbCAyNi4xMzM0LDUzLjY5NjY2IHoiCiAgICAgICBzb2RpcG9kaTpub2RldHlwZXM9ImNjY2NjIiAvPjx0ZXh0CiAgICAgICB4bWw6c3BhY2U9InByZXNlcnZlIgogICAgICAgc3R5bGU9ImZvbnQtc3R5bGU6bm9ybWFsO2ZvbnQtdmFyaWFudDpub3JtYWw7Zm9udC13ZWlnaHQ6Ym9sZDtmb250LXN0cmV0Y2g6bm9ybWFsO2ZvbnQtc2l6ZToyNC44Njg3cHg7bGluZS1oZWlnaHQ6MTAwJTtmb250LWZhbWlseTpzYW5zLXNlcmlmOy1pbmtzY2FwZS1mb250LXNwZWNpZmljYXRpb246J3NhbnMtc2VyaWYgQm9sZCc7bGV0dGVyLXNwYWNpbmc6MHB4O3dvcmQtc3BhY2luZzowcHg7ZmlsbDojMDAwMDAwO3N0cm9rZTpub25lO3N0cm9rZS13aWR0aDowLjc1MDAwMnB4O3N0cm9rZS1saW5lY2FwOmJ1dHQ7c3Ryb2tlLWxpbmVqb2luOm1pdGVyO3N0cm9rZS1vcGFjaXR5OjEiCiAgICAgICB4PSIxMTUwLjMzNDgiCiAgICAgICB5PSItNTYzLjUyMTM2IgogICAgICAgaWQ9InRleHQ4MjYzLTUtNy00LTQiCiAgICAgICB0cmFuc2Zvcm09InNjYWxlKDEuMDAzNDcwMiwtMC45OTY1NDE4KSI%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%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%2BPC9nPjwvc3ZnPg%3D%3D)

# **Conseil :** la série de questions permet d'arriver au résultat souhaité. Bien que ça ne soit pas dit explicitement à chaque fois, il est (très !) conseillé de sauvegarder le résultat de chaque calcul effectué dans une variable afin de le réutiliser plus tard. De manière générale, chaque cellule peut prendre une forme suivante, où `res` est le résultat demandé.
# ```
# var1 = ...
# var2 = ...
# res = calcul(var1, var2)
# res
# ```

# ### Question 
# L'équation d'un cercle $C$ de centre $(x_c,y_c)$ et de rayon $R$ est $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2 = R^2$.
# 1. Définir des varaibles symboliques pour $x$, $y$, $R_1$ et $R_2$.
# 1. Définir les équations qui définissent les deux cercles $C_1$ et $C_2$. *Remarque : on peut écrire `eq = ... == ...` pour définir une équation. Remarquez que dans l'affichage, les `==` sont remplacés par un seul $=$.*

# In[ ]:





# ### Question
# Tracer une figure représentant les deux cercles $C_1$ (en bleu) et $C_2$ (en rouge) lorsque $R_1 = 10$ et $R_2=4$. *Indications :*
# - *on peut remplacer une variable par une valeur dans une équation avec `subs` ;*
# - *`implicit_plot` prend en entrée une équation et deux couples `(xmin,xmax)` et `(ymin,ymax)` et trace les points $(x,y)$ qui vérifient l'équation, pour $x_\min ≤ x ≤ x_\max$ et $y_\min ≤ y ≤ y_\max$ ;*
# - *`implicit_plot` (comme toutes les fonctions de graphiques) admet un argument optionnel `color`* ;
# - *deux graphiques peuvent être combinés en les additionnant : `implicit_plot(...) + implicit_plot(...)`.*

# In[ ]:





# ### Question
# On cherche à trouver les équations des points $I$ et $J$ de la figure, c'est-à-dire les intersections des deux cercles. Par définition, ce sont les points qui vérifient l'équation de $C_1$ et celle de $C_2$. 
# 1. Utiliser `solve` pour trouver les couples $(x,y)$ qui vérifient les équations des deux cercles.
# 1. Définir les points $I$ et $J$ à partir des solutions trouvées précédemment. *Attention à ne pas inverser $I$ et $J$.*
# 1. Tracer le même graphique que précédemment, en ajoutant les points $I$ et $J$ en couleur (différentes, pour les distinguer). 
#     - *`point((x,y))` permet de tracer un point de coordonnées $(x,y)$ et admet beaucoup de paramètres optionnels, dont `color`, `zorder` (entier pour déterminer quel graphique est au premier plan, au deuxième plan, etc.) et `size` (entier qui fixe la taille du point).*
#     - pour simplifier l'utilisation de `subs`, on peut définir un dictionnaire `d = {R1:10, R2:4}` et écrire `eq.subs(d)` plutôt que `eq.subs(R1 = 10, R2 = 4)`.

# In[ ]:





# In[ ]:





# In[ ]:





# ### Question
# 1. Écrire une fonction `dessin` qui prend en paramètre les rayons $R_1$ et $R_2$ et renvoie le graphique représentant le problème, avec les éléments suivants :
#     - les deux cercles, en bleu et rouge ;
#     - les points $I$ et $J$, en vert ;
#     - les points $O$ et $O_2$, en noir ;
#     - le triangle $OIJ$ en rouge (utiliser `line`) ;
#     - le triangle $O_2IJ$ en bleu ;
#     - le segment $IJ$ en gris.
# 
# 1. Faire une version interactive du dessin précédent, à l'aide de la commande suivante (à copier-coller) : 
#    ```
#    @interact
#    def _(r1 = slider(1,20),r2 = slider(1,20)):
#        return dessin(r1, r2)
#    ```

# In[ ]:





# In[ ]:





# In[ ]:





# ### Question
# On commence par calculer l'aire des triangles $T_1 = OIJ$ et $T_2 = O_2IJ$. On rappelle qu'on note $H$ l'intersection de l'axe des abscisses et du segment $IJ$.
# 
# 1. En remarquant que $T_1$ et $T_2$ peuvent tous les deux se découper en deux triangles rectangles en $H$, calculer l'aire de $T_1$ et celle de $T_2$.
# 1. Utiliser les fonctions de simplification `simplify` et `simplify_...` pour obtenir des expressions aussi simples que possibles.

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# ### Question
# Afin de calculer les aires des secteurs angulaires, on cherche à déterminer les angles $\theta_1 = \widehat{IOH}$ et $\theta_2 = \widehat{IO_2H}$. On rappelle que dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, l'angle $\theta = \widehat{BAC}$ vérifie $\cos\theta = \frac{AB}{AC}$ (« adjacent / hypothénuse ») et $\sin\theta = \frac{BC}{AC}$ (« opposé / hypothénuse »).
# 1. Calculer $\cos\theta_1$, $\sin\theta_1$, $\cos\theta_2$ et $\sin\theta_2$.
# 1. Simplifier les expressions autant que possible.

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# ### Question
# On note $S_1$ le *secteur angulaire* $OIJ$ du cercle $C_1$, et $S_2$ le *secteur angulaire* $O_2IJ$ de $C_2$.
# L'aire d'un cercle de rayon $R$ est $\pi R^2$, et correspond à un secteur angulaire d'angle $2\pi$. De manière proportionnelle, l'aire d'un secteur angulaire d'angle au centre $\theta$ est $\frac{1}{2} r^2\theta = \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2$.
# 
# 1. Calculer $\theta_1$ et $\theta_2$ à l'aide de la fonction $\arccos$.
# 1. En déduire l'aire des secteurs angulaires $S_1$ et $S_2$. *Attention aux angles aux centres de $S_1$ et $S_2$.*

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# ### Question
# 1. En déduire l'aire de l'intersection de $C_1$ et $C_2$, et la simplifier autant que possible.
# 1. Vérifier que l'aire trouvée est bien cohérente dans les cas limites $R_2 = 0$ et $R2 = 2R_1$. *Quelles doivent être les réponses dans ces deux cas ? Vous pouvez vous aider des graphiques !*

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# ### Question
# On cherche maintenant à déterminer quand est-ce que cette aire vaut la moitié de l'aire du cercle $C_1$. Afin de simplifier les calculs, on effectue la remarque suivante : ce qui compte est le ratio entre les rayons $R_1$ et $R_2$, plus que les valeurs des rayons eux-mêmes. On va donc, dans la suite, travailler avec $R_2 = kR_1$ pour un certain $k$.
# 1. Définir la variable $k$, et l'expression de l'aire en fonction de $R_1$ et $k$. *Simplifier.*
# 1. On remarque que l'aire est un multiple de $R_1^2$ (peu étonnant !). SageMath arrive-t-il à s'en rendre compte ?
# 1. Simplifier encore l'aire pour mettre $R_1^2$ en facteur. *Pour simplifier une expression en aidant SageMath, on peut utiliser `expr.subs(e1 == e2)` pour remplacer toute l'expression `e1` par l'expression `e2` dans `expr`. Attention : SageMath ne vérifie pas que l'égalité `e1 == e2` est vraie, il fait confiance à l'utilisateur !*

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# ### Question
# On cherche maintenant à résoudre le problème présenté à la question précédente : déterminer pour quelles valeurs de $R_1$ et $R_2$, l'aire de l'intersection est égale à la moitié de l'aire de $C_1$. 
# 1. Écrire l'équation qu'on cherche à résoudre en fonction de $R_1$ et $k$.
# 1. Simplifier l'équation : par quoi peut-on diviser ?
# 1. Résoudre l'équation à l'aide de `solve` : le résultat est-il satisfaisant ?
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# ### Question
# Il est normal que SageMath ne sache pas résoudre l'équation, car elle n'admet pas de solution *analytique* (c'est-à-dire exprimable avec des fonctions usuelles). On cherche donc à résoudre l'équation de manière approchée, avec `find_root`.
# 1. (Question théorique) La fonction `find_root` requiert des bornes sur $k$ : quelles sont les valeurs minimales et maximales intéressantes pour la variable $k$ ? 
# 1. Résoudre l'équation de manière approchée.
# 1. Vérifier le résultat.
# 1. Reproduire le dessin avec cette valeur de $k$.

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# ### Question
# On a vu que pour $k = 0$, l'aire de l'intersection est nulle ; pour $k = 2$, c'est l'aire de $C_1$ tout entier ; et on a calculer $k$ tel que l'aire soit la moitié de celle de $C_1$. 
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# Tracer la courbe de la proportion entre l'aire de l'intersection et l'aire de $C_1$ en fonction de $k$.

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