Equação da onda unidimensional¶

Vamos considerar a equação da onda

$$ u_{tt} = c^2 u_{xx}. $$

Solução analítica¶

A equação da onda pode ser vista como a superposição de duas ondas viajando com a mesma velocidade mas em sentidos opostos:

$$ u(t,x) = F(x-ct) + G(x+ct). $$

De fato, temos

$$ u_t = (-c)F'(x-ct) + cG'(x+ct), \qquad u_{tt} = c^2(F''(x-ct) + G''(x+ct)) $$

Por outro lado,

$$ u_x = F'(x-ct) + G'(x+ct), \qquad u_{xx} = F''(x-ct) + G''(x+ct). $$

Logo, desde que $F$ e $G$ sejam duas vezes diferenciáveis, temos $u(t,x)$ também duas vezes diferenciáveis e satisfazendo a equação da onda.
As formas de $F$ e $G$ dependem das condições iniciais $u(0,x) = u_0(x)$ e $u_t = v_0(x)$:

$$ F(x) + G(x) = u_0(x), \quad -cF'(x) + cG'(x) = v_0(x). $$

Transformação para um sistema de equações de primeira ordem¶

Assim como em EDOs de segunda ordem, consideramos o sistema

$$ \begin{cases} u_t = v, \\ v_t = c^2u_{xx}. \end{cases} $$

Podemos representar o novo conjunto de incógnigas $u$ e $v$ em forma vetorial:

$$ U = \left(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}\right) $$

E a equação de segunda ordem em $t$ se transforma em uma equação de primeira ordem em $t$ para $U$:

$$ U_t = AU $$

Onde, em forma de bloco,

$$ A = \left[ \begin{matrix} 0 & I \\ c^2\partial_{x}^2 & 0 \end{matrix} \right] $$

Mais explicitamente,

$$ \frac{\partial}{\partial t} \left(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}\right) = \left[ \begin{matrix} 0 & I \\ c^2\partial_{x}^2 & 0 \end{matrix} \right] \left(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}\right) $$

Simulação numérica¶

Vamos considerar condições de contorno de Dirichlet homogêneas, $u(t,0)=u(t,L) = 0$.
Isso representa a situação em que os extremos da corda estão fixos na mesma altura.
Nesse caso, definimos a discretização do Laplaciano como no caso da equação do calor.

In [2]:

function δ²(u, h2, ::Val{:dir})
    ddu = zero(u)
    for j = 2:length(u)-1
        ddu[j] = (u[j+1] - 2u[j] + u[j-1])/h2
    end
    return ddu
end

Out[2]:

δ² (generic function with 1 method)

Representação numérica do sistema¶

O vetor $U=(u,v)$, que na verdade é uma dupla de funções, pode ser representado, com a discretização, na forma de uma matriz de duas colunas

$$ U = [u \;\; v] = \left[\begin{matrix} u_1 & v_1 \\ \vdots & \vdots \\ u_N & v_N \end{matrix}\right] $$

Com a notação do Julia, extraímos $u$ e $v$ de $U$ com

$$ u = U[:,1], \quad v = U[:,2] $$

Lei de evolução¶

Com essa representação, podemos definir a lei de evolução do sistema discretizado da seguinte forma.

In [3]:

function dUdt_onda!(dUdt, U, p, t)
    c2, h2 = p
    u = U[:,1]
    v = U[:,2]
    dUdt[:,1] .= v
    dUdt[:,2] .= c2 * δ²(u, h2, Val(:dir))
    return nothing
end

Out[3]:

dUdt_onda! (generic function with 1 method)

Definindo parâmetros e resolvendo o sistema¶

In [4]:

c = 0.5 # 
L = 2π # comprimento do intervalo [0,L]
N = 80 # número de pontos da malha
h = L/(N-1) # comprimento de cada partição na malha
x = range(0.0, L, length=N) # discretização do intervalo [0,L] com N pontos, incluindo os extremos
u₀ = exp.(-(x.-L/2).^2) .- exp(-L^2/4) # condição inicial
v₀ = -2*(x.-L/2) .* exp.(-(x.-L/2).^2) # condição inicial w₀ = ∂ₓv₀
U₀ = [u₀ v₀]
p = [c^2, h^2] # parâmetros
Tf = 2*L/c # tempo final
τ = 0.1 # intervalos de tempo
tspan = (0.0,Tf) # intervalo de tempo
prob = ODEProblem(dUdt_onda!, U₀, tspan, p, saveat = τ)
nothing

In [5]:

sol = solve(prob, Tsit5())
sol.retcode

Out[5]:

:Success

In [6]:

anim = @animate for (t,U) in zip(sol.t, sol.u)
    plot(x, U[:,1], ylims=(-2.0, 2.0), label="t=$(round(t,digits=2))",
        title="Evolução equação da onda unidimensional (c=$c)", titlefont=10)
end
gif(anim, "../../../assets/attachments/img/anim_onda1D_a.gif", fps = 20)
nothing

┌ Info: Saved animation to 
│   fn = /Users/rrosa/Documents/git_repositories/modelagem_matematica/_assets/attachments/img/anim_onda1D_a.gif
└ @ Plots /Users/rrosa/.julia/packages/Plots/MzlNY/src/animation.jl:130

Out[6]:

wave1d