Aplicações de Matrizes em Situações do Dia a Dia¶

Vamos apresentar dois problemas rotineiros: um sobre um planejamento de atividades físicas e outro sobre planejamento financeiro de uma empresa. Ambos podem ser solucionados utilizando conhecimentos sobre matrizes em Álgebra Linear.¶

Leon, Steven J., 1943 - Álgebra Linear com Aplicações/ Steven J. Leon; tradução Valéria de Magalhães Iório - [reimpr]. Rio de Janeiro: LTC, 2008.¶

Aplicação 1: Queimando calorias¶

Alysson pesa 81 quilos (os dados são meramente ilustrativos...). Ele quer perder peso por meio de um progama de dieta e exercícios. Após consultar a tabela 1, ele monta o programa de exercícios na tabela 2. quantas calorias ele vai queimar por dia se seguir esse progama?

Tabela 1. Calorias Queimadas por Hora¶

Atividades Esportivas

Peso	Andar a 3km/h	Correr a 9km/h	Andar de bicicleta a 9km/h	Jogar Tênis(Moderado)
69	213	651	304	420
73	225	688	321	441
77	237	726	338	468
81	249	764	356	492

In [1]:

# importando a biblioteca numpy do Python
import numpy as np
# importando a biblioteca de funções do Python matplotlib
import matplotlib 
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline  

In [2]:

# definindo a matriz A a partir da tabela 1
A = np.array([[213, 651, 304, 420],
              [225, 688, 321, 441],
              [237, 726, 338, 468],
              [249, 764, 356, 492]])

In [3]:

# imprimindo a matriz A
print("A matriz A é\n\n", A)

A matriz A é

 [[213 651 304 420]
 [225 688 321 441]
 [237 726 338 468]
 [249 764 356 492]]

Tabela 2. Horas por Dia para Cada Atividade¶

Programa de Exercícios

Dias da Semana	Andar	Correr	Andar de Bicicleta	Jogar Tênis
Segunda-feira	1.0	0.0	1.0	0.0
Terça-feira	0.0	0.0	0.0	2.0
Quarta-feira	0.4	0.5	0.0	0.0
Quinta-feira	0.0	0.0	0.5	2.0
Sexta-feira	0.4	0.5	0.0	0.0

In [4]:

# definindo a matriz B a partir da tabela 2
B = np.array([[1.0, 0.0, 1.0, 0.0],
              [0.0, 0.0, 0.0, 2.0],
              [0.4, 0.5, 0.0, 0.0],
              [0.0, 0.0, 0.5, 2.0],
              [0.4, 0.5, 0.0, 0.0]])

In [5]:

# imprimindo a matriz B
print("A matriz B é\n\n", B)

A matriz B é

 [[1.  0.  1.  0. ]
 [0.  0.  0.  2. ]
 [0.4 0.5 0.  0. ]
 [0.  0.  0.5 2. ]
 [0.4 0.5 0.  0. ]]

Solução:¶

A informação pertinente para Alysson está localizada na quarta linha da matriz A, pois são os dados referentes a quem pesa 81 quilos.

Vamos criar uma nova matriz x do tipo vetor-coluna baseado nos dados contidos na 4º linha da matriz A.

In [6]:

# x recebe a quarta linha de A
x = A[3]

In [7]:

# x é transposta para se tornar um vetor-coluna
x = np.transpose(x)

Para resolver o problema, basta multiplicar a matriz $B_{5_{x}4}$ pela matriz $x_{4_{x}1}$.

In [8]:

# realizando a multiplicação da matriz B com a matriz x
Calorias = np.dot(B,x)

In [10]:

# imprimindo a matriz de calorias gastas por semana
print("A matriz com valores de calorias gastas é:\n\n", Calorias)

A matriz com valores de calorias gastas é:

 [ 605.   984.   481.6 1162.   481.6]

In [11]:

# esquematizando as etiquetas do gráfico no eixo x
DiasdaSemana = ['Segunda-feira', 'Terça-feira', 'Quarta-feira', 'Quinta-feira', 'Sexta-feira']

Dessa forma, vemos que Alysson, seguindo sua rotina de atividades físicas, queimara as respectivas calorias durante a semana:

Dias da Semana	Calorias Gastas
Segunda-feira	605.0 calorias
Terça-feira	984.0 calorias
Quarta-feira	481.6 calorias
Quinta-feira	1162.0 calorias
Sexta-feira	481.6 calorias

Assim, podemos ter o seguinte gráfico:

In [12]:

# definindo as dimensões do gráfico
plt.figure(figsize=(8,5))
# definindo a legenda do eixo x
plt.xlabel('Dias da Semana')
# definindo as legendas do eixo y
plt.ylabel('Calorias Gastas')
# plotando o gráfico e definindo uma legenda
plt.plot(DiasdaSemana, Calorias, label = 'Calorias Gastas/Dia')
# chamando a legenda para ser exposta no gráfico
plt.legend()
# definindo um input diferente de 0 para entrada verdadeira na grade do gráfico
plt.grid(True)
# definindo o título do gráfico
plt.title('Gráfico de Calorias Gastas por Alysson')

Out[12]:

Text(0.5, 1.0, 'Gráfico de Calorias Gastas por Alysson')

A visualização não ficou muito adequada com esse gráfico. Talvez um gráfico de barras fosse mais adequado para essa situação.

In [15]:

# definindo as dimensões do gráfico
plt.figure(figsize=(8,5))
# definindo a legenda do eixo x
plt.xlabel('Dias da Semana')
# definindo as legendas do eixo y
plt.ylabel('Calorias Gastas')
# plotando o gráfico e definindo uma legenda
plt.barh(DiasdaSemana, Calorias, label = 'Calorias Gastas/Dia')
# chamando a legenda para ser exposta no gráfico
plt.legend()
# definindo um input diferente de 0 para entrada verdadeira na grade do gráfico
plt.grid(True)
# definindo o título do gráfico
plt.title('Gráfico de Calorias Gastas por Alysson')

Out[15]:

Text(0.5, 1.0, 'Gráfico de Calorias Gastas por Alysson')

Aplicação 2: Gestão Financeira de uma Empresa¶

Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas na tabela 3 e na tabela 4. A empresa gostaria de apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por trimestre de cada uma das três categorias: matéria- prima, pessoal e despesas gerais.

Tabela 3. Custo de Produção por Item (em reais)¶

Gastos	Produto A	Produto B	Produto C
Matéria-prima	0.10	0.30	0.15
Pessoal	0.30	0.40	0.25
Despesas-gerais	0.10	0.20	0.15

In [16]:

# definindo a matriz C baseada na tabela 3
C = np.array([[0.10, 0.30, 0.15],
              [0.30, 0.40, 0.25], 
              [0.10, 0.20, 0.15]])

In [17]:

# imprimindo a matriz C
print("A matriz C é:\n\n", C)

A matriz C é:

 [[0.1  0.3  0.15]
 [0.3  0.4  0.25]
 [0.1  0.2  0.15]]

Tabela 4. Quantidade Produzida por Trimestre¶

Produto	Verão	Outono	Inverno	Primavera
A	4000	4500	4500	4000
B	2000	2600	2400	2200
C	5800	6200	6000	6000

In [18]:

# definindo a matriz D baseado na tabela 4
D = np.array([[4000, 4500, 4500, 4000], 
              [2000, 2600, 2400, 2200],
              [5800, 6200, 6000, 6000]])

In [19]:

print("A matriz D é:\n\n", D)

A matriz D é:

 [[4000 4500 4500 4000]
 [2000 2600 2400 2200]
 [5800 6200 6000 6000]]

Se fizermos o produto CD, teremos o custo de cada categoria por trimestre.

In [20]:

# realizando a multiplicação da matriz C com a matriz D
Custos = np.dot(C, D)

In [21]:

# imprime a matriz de custos por trimeste em cada categoria, em reais
print("A matriz de Custos é:\n\n", Custos)

A matriz de Custos é:

 [[1870. 2160. 2070. 1960.]
 [3450. 3940. 3810. 3580.]
 [1670. 1900. 1830. 1740.]]

Custos de cada Categoria por Trimeste	Verão	Outono	Inverno	Primavera
Matéria-prima	1870	2160	2070	1960
Pessoal	3450	3940	3810	3580
Despesas Gerais	1670	1900	1830	1740

In [22]:

# esquematizando as etiquetas do gráfico no eixo x
Trimestres = ['Verão', 'Outono', 'Inverno', 'Primaveira']
# definindo os valores gastos apenas na categoria Matéria-Prima
MateriaPrima = Custos[0]
# definindo os valores gastos apenas na categoria Pessoal
Pessoal = Custos[1]
# definindo os valores gastos apenas na categoria Despesas Gerais
DespesasGerais = Custos[2]

In [23]:

# definindo as dimensões do gráfico
plt.figure(figsize=(12,8))
# definindo a legenda do eixo x
plt.xlabel('Trimestres')
# definindo a legenda do eixo y
plt.ylabel('Dinheiro(R$)')
# plotando o gráfico para a categoria Matéria-Prima, com sua respectiva legenda
plt.plot(Trimestres, MateriaPrima, label = 'Matéria-Prima')
# plotando o gráfico para a categoria Pessoal, com sua respectiva legenda
plt.plot(Trimestres, Pessoal, label = 'Pessoal')
# plotando o gráfico para a categoria Despesas Gerais, com sua respectiva legenda
plt.plot(Trimestres, DespesasGerais, label = 'Despesas Gerais')
# chamando a legenda para ser exposta no gráfico
plt.legend()
# definindo um input diferente de 0 para entrada verdadeira na grade do gráfico
plt.grid(True)
# definindo o título do gráfico
plt.title('Gráfico de Custos por Categoria em cada Trimestre')

Out[23]:

Text(0.5, 1.0, 'Gráfico de Custos por Categoria em cada Trimestre')

Desse modo, observe que a álgebra linear pode estar presente em diversas situações do nosso dia a dia, das mais simples até as situações mais complexas da engenharia. Por esse motivo, a disciplina deve ser levada a sério e merece ser estudada com um maior grau de profundidade por parte dos estudantes.