Contenido bajo licencia Creative Commons BY 4.0 y código bajo licencia MIT. © Juan Gómez y Nicolás Guarín-Zapata 2020. Este material es parte del curso Modelación Computacional en el programa de Ingeniería Civil de la Universidad EAFIT.
Modelación¶
Introducción¶
La modelación matemática y la simulación son herramientas matemáticas fundamentales en ciencia e ingenierı́a, y es válido afirmar que todo el mundo las usa (incluso aquellos que no se percatan de ello). La pregunta no es si usar estas herramienta o no, sino cómo usarlas de manera efectiva. Para tratar con la complejidad de un sistema de interés, los ingenieros y cientı́ficos usan versiones simplificadas del sistema, es decir, modelos del mismo (Velten 2009).
Es común encontrar palabras como sistema, modelo, y simulación muy a menudo en la literatura. Sin el interés de formalizar mucho en el asunto damos algunas definiciones para términos comúnmente encontrados:
Sistema: Un sistema es un objeto o una colección de objetos de los cuáles queremos estudiar sus propiedades.
Experimento: Estimular un sistema para evaluar su respuesta.
Modelo: Abstracción de la realidad para un propósito especı́fico.
Simulación (experimento virtual): Estimular un modelo del sistema de interés para evaluar su respuesta.
Mejor modelo
Podemos decir que el mejor modelo es el modelo más simple que sirve para entender un sistema y resolver problemas.
Caída de un paracaidista¶
Para ilustrar algunos de los conceptos usaremos el salto de un paracaidista hasta el momento en el que abre su paracaídas. Es decir, nos interesa poder calcular la velocidad que lleva el mismo en cada instante de tiempo desde que salta del avión hasta el momento de abrir su paracaídas.
Partamos de un diagrama de cuerpo libre
O, matemáticamente $$mg - F_a = ma\, ,$$
en donde la fuerza de arrastre está dada por
$$F_a = \frac{1}{2}\rho C_a A v^2\, .$$Los parámetros de esta expresión son los siguientes:
$g = 9.81 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad;
$\rho$ es la densidad del fluido. Para el aire podemos tomar $\rho = 1.22 \text{ kg/m}³$;
$C_a$ es el coeficiente de arrastre. Que para una persona puede tomarse como $C_a = 1.2$;
$A$ es el área proyectada del paracaidista. Para el profesor, tenemos que $A=0.43 \text{ m}^2$; y
$m$ es la masa del paracaidista. En el caso del profesor, tenemos que $m = 80 \text{ kg}$.
Esto nos lleva a la siguiente ecuación de movimiento
$$\frac{dv}{dt} = g - \frac{1}{2}\frac{\rho C_a A}{m} v^2\, .$$A diferencia de la caída en la ausencia de un fluido, en este caso se tiene una ``velocidad terminal" ($v_\infty$)), es decir, una velocidad máxima. Esto implica que la aceleración debe ser cero,
$$\frac{d v_\infty}{dt} = 0\, ,$$y por tanto
$$g = \frac{1}{2}\frac{\rho C_a A}{m} v^2_\infty\, ,\quad \text{o}\quad v_\infty = \sqrt{\frac{2 m g}{\rho C_a A}} \, .$$Podemos, entonces, reescribir la ecuación diferencial como
$$\frac{dv}{dt} = g\left(1 - \frac{v^2}{v_\infty^2}\right)\, ,$$e integrando tenemos
$$\int_0^v \frac{dv}{\left(1 - \frac{v^2}{v_\infty^2}\right)} = \int_0^t g dt\, ,$$y luego de una manipulación algebraica, obtenemos
$$v(t) = v_\infty \tanh\left(\frac{gt}{v_\infty}\right)\, .$$Si tomamos los datos dados anteriormente, tenemos una velocidad terminal
$$v_\infty = 49.94\, \text{ m/s} = 179.76\, \text{ km/h}\, ,$$y la rapidez como función del tiempo sería
$$v(t) = 49.94\, \tanh(0.196\, t)\, \text{ m/s}\, .$$A continuación vamos a graficar la velocidad para cada instante de tiempo usando los parámetros dados.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from ipywidgets import interact
%matplotlib notebook
# Parametros de entrada en SI
densidad = 1.22
gravedad = 9.81
coef_arr = 1.2
area = 0.43
masa = 80
vel_ter = np.sqrt(2*masa*gravedad/(densidad * coef_arr * area))
# Definicion arreglos
tiempo = np.linspace(0, 20, 100)
vel = vel_ter * np.tanh(gravedad * tiempo/vel_ter)
# Graficacion
plt.figure()
plt.plot(tiempo, vel)
plt.xlabel("Tiempo (s)")
plt.ylabel("Velocidad vertical (m/s)")
Text(0, 0.5, 'Velocidad vertical (m/s)')
Podemos agrupar estas instrucciones en una función para facilitar su posterior uso.
def graficar_vel(masa, area):
"""
Grafica la velocidad en función del tiempo
para un paracaidista con una masa y area
transversal dadas.
"""
plt.cla()
densidad = 1.22
gravedad = 9.81
coef_arr = 1.2
vel_ter = np.sqrt(2*masa*gravedad/(densidad * coef_arr * area))
tiempo = np.linspace(0, 20, 100)
vel = vel_ter * np.tanh(gravedad * tiempo/vel_ter)
plt.plot(tiempo, vel)
plt.xlabel("Tiempo (s)")
plt.ylabel("Velocidad vertical (m/s)")
plt.text(15, vel_ter/2,
"masa ={:g} kg\narea={:g} m²".format(masa, area))
return None
plt.figure()
graficar_vel(masa, area)
Y podemos graficar llamando a la función con sus dos parámetros, como se muestra a continuación.
Actividad de clase¶
La ecuación dada anteriormente permite modelar la velocidad para diferentes instantes de tiempo.
Partiendo de esta, y de la función graficar_vel() que permite realizar la gráfica
para diferentes valores de masa y área analice cuáles serían los requerimientos
para los integrantes de su equipo.
Nota: Tenga en cuenta que si ninguno de los integrantes ha hecho el curso de paracaidismo deben saltar con un instructor. Pueden asumir que este tiene (aproximadamente) el mismo tamaño y peso.
Usar los deslizadores de la próxima celda para estudiar cuál sería la velocidad límite para cada uno de los integrantes de su equipo.
¿Cuánto tiempo tarda en llegar la velocidad al 80%, 90% y 98% para cada integrante?
Responda estas preguntas al final de este Notebook usando celdas de texto con el formato correspondiente.
plt.figure()
w = interact(graficar_vel,
masa=(30.0,200.0),
area=(0.1,1.0))
interactive(children=(FloatSlider(value=115.0, description='masa', max=200.0, min=30.0), FloatSlider(value=0.5…
Respuesta a la actividad¶
Acá pueden incluir sus respuestas.
Pueden usar listas:
Un elemento de la lista.
Otro elemento de la lista.
Un subtítulo¶
Texto
Referencias¶
- Kai Velten. Mathematical modeling and simulation: introduction for
scientists and engineers. John Wiley & Sons, 2009.