# Script para ver y ocultar el codigo del jupyter
from IPython.display import HTML
HTML('''<script>
function code_toggle() {
if (code_shown){
$('div.input').hide('500');
$('#toggleButton').val('Ver el Codigo de Python')
} else {
$('div.input').show('500');
$('#toggleButton').val('Ocultar el Codigo')
}
code_shown = !code_shown
}
$( document ).ready(function(){
code_shown=false;
$('div.input').hide()
});
</script>
<form action="javascript:code_toggle()">
<input type="submit" id="toggleButton" value="Ver el Codigo de Python"></form>''')
# Importar librerias basicas
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym
%matplotlib inline
plt.style.use('bmh') # estilo de las graficas
from IPython.display import Latex # para visualizar ecuaciones en jupyter
la transformada $Z$ es una transformación que representa una señal discreta $x[k]$ en el dominio espectral. Se basa en la función exponencial compleja $z^{-k}$ con $z \in \mathbb{C}$ como señal base.
Para señales causales tenemos: $$ \large \boxed{X(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} x[k] \, z^{-k}} $$
La transformada Z converge si es absolutamente sumable
$$ \sum_{k = -\infty}^{\infty} | x[k] \cdot z^{- k} | = \sum_{k = -\infty}^{\infty} | x[k] | \cdot | z |^{- k} < \infty $$| | $x[k]$ | $X(z) = \mathcal{Z} \{ x[k] \}$ | Region de convergencia (ROC) |
|---|---|---|---|
| Linealidad | $A \, x_1[k] + B \, x_2[k]$ | $A \, X_1(z) + B \, X_2(z)$ | $\supseteq \text{ROC}\{x_1[k]\} \cap \text{ROC}\{x_2[k]\}$ |
| Conjugacion | $x^*[k]$ | $X^*(z^*)$ | $\text{ROC}\{ x[k] \}$ |
| Señales Reales | $x[k] = x^*[k]$ | $X(z) = X^*(z^*)$ | |
| Convolucion Lineal | $x[k] * h[k]$ | $X(z) \cdot H(z)$ | $\supseteq \text{ROC}\{x[k]\} \cap \text{ROC}\{h[k]\}$ |
| Desplazamiento en el tiempo | $x[k - \kappa]$ | $z^{- \kappa} \cdot X(z)$ | $\supseteq \text{ROC}\{x[k]\} \setminus \{0, \infty \}$ |
| Modulacion | $z_0^k \cdot x[k]$ | $X\left( \frac{z}{z_0} \right)$ | $\{z: \frac{z}{z_0} \in \text{ROC} \{ x[k] \} \}$ |
| Inversion | $x[-k]$ | $X \left( \frac{1}{z} \right)$ | $\{z: \frac{1}{z} \in \text{ROC} \{ x[k] \} \}$ |
Donde $A, B, z_0 \in \mathbb{C}$ y $\kappa \in \mathbb{Z}$
| $x[k]$ | $X(z) = \mathcal{Z} \{ x[k] \}$ | ROC | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\delta[k]$ | $1$ | $\mathbb{C}$ | ||||
| $\epsilon[k]$ | $\frac{z}{z-1}$ | $ | z | > 1$ | ||
| $k \epsilon[k]$ | $\frac{z}{(z-1)^2}$ | $ | z | > 1$ | ||
| $z_0^{k} \epsilon[k]$ | $\frac{z}{z - z_0}$ | $ | z | > | z_0 | $ |
| $-z_0^{k} \epsilon[-k-1]$ | $\frac{z}{z - z_0}$ | $ | z | < | z_0 | $ |
| $\sin(\Omega_0 k) \epsilon[k]$ | $\frac{z \sin(\Omega_0)}{z^2 - 2 z \cos(\Omega_0) + 1}$ | $ | z | > 1$ | ||
| $\cos(\Omega_0 k) \epsilon[k]$ | $\frac{z ( z - \cos(\Omega_0))}{z^2 - 2 z \cos(\Omega_0) + 1}$ | $ | z | > 1$ |
Donde $z_0 \in \mathbb{C}$, $\Omega_0 \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$.
Phd. Jose R. Zapata