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Le but de cette activité est d'obtenir un encadrement de $\pi$ par la méthode d'Archimède.Activer la cellule Python ci-dessous pour obtenir une figure dynamique illustrant la situation.
On considère un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $\displaystyle \frac{1}{2}$.
$n$ étant un entier supérieur ou égal à $3$, on construit :On note respectivement $u_n$ et $v_n$ les longueurs des côtés de ces polygones, et $p_n$ et $q_n$ leurs périmètres.
- un polygone régulier à $n$ côtés tel que le cercle $\mathcal{C}$ soit circonscrit à ce polygone ;
- un polygone régulier à $n$ côtés tel que le cercle $\mathcal{C}$ soit inscrit dans ce polygone.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import HTML ; HTML("""<iframe scrolling="no" title="Archimède" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dbvzzhf3/width/929/height/534/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="929px" height="534px" style="border:0px;"> </iframe>""")
1.1. Déterminer la valeur exacte de la circonférence du cercle $\mathcal{C}$.
1.2. Démontrer que pour tout $n \geq 3$ ; $\displaystyle u_n= \sin{\left( \frac{\pi}{n} \right)}$ et $\displaystyle v_n= \tan{\left( \frac{\pi}{n} \right)}$.
$\quad\;\;$En déduire que pour tout $n \geq 3$ ; $\displaystyle p_n= n \sin{\left( \frac{\pi}{n} \right)}$ et $\displaystyle q_n= n \tan{\left( \frac{\pi}{n} \right)}$.
1.3. Calculer les valeurs exactes de $p_3$ et $q_3$.
On admet maintenant que :$\quad\quad$(*) Les démonstrations de ces résultats sont proposées dans la partie 2.
- $\forall n \geq 3$ ; $p_n \leq \pi \leq q_n$
- $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty}{p_n}=\lim\limits_{n \to +\infty}{q_n}=\pi$
Ainsi, les formules de $p_n$ et $q_n$ obtenues en 1.2. permettraient d'encadrer $\pi$, mais utiliser ces formules pour obtenir cet encadrement manquerait de cohérence puisqu'elles nécessitent elles-mêmes l'utilisation de cette valeur $\pi$.
Il faut donc disposer d'une méthode de calculs de termes de ces suites qui ne nécessite pas la connaissance et l'utilisation de la valeur $\pi$. En particulier, les formules qui suivent établissent un lien entre les périmètres des polygones à $2n$ côtés et les périmètres des polygones à $n$ côtés construits à l'aide de la méthode d'Archimède.
On admet dans cette partie(*) que les suites $(p_n)_{n \geq 3}$ et $(q_n)_{n \geq 3}$ vérifient les formules :
- $\forall n \geq 3$ ; $\displaystyle q_{2n}=\frac{2 p_n q_n}{p_n+q_n}$
- $\forall n \geq 3$ ; $p_{2n} = \sqrt{ p_n q_{2n} }$
1.4. À l'aide de ces formules, calculer les valeurs exactes de $p_6$ et $q_6$, puis en donner des valeurs approchées.
$\quad\;\;$Comparer avec les valeurs fournies par la figure dynamique.
1.5.a. Écrire une fonction Python etape_Archimede:
from math import sqrt # import de la fonction sqrt
#Écrire ici la fonction etape_Archimede
def etape_Archimede(p,q):
"""
fonction qui applique une étape de l'algorithme d'Archimède:
calcul des périmètres des polygones ayant deux fois plus de côtés que les précédents
"""
q = 2*p*q/(p+q) # ! Attention à l'ordre des instructions !
p = sqrt(p*q) # ! Ici le calcul de p se fait avec la nouvelle valeur de q !
return p,q
$\quad$b. Effectuer des saisies Python pour stocker les valeurs $p_3$ et $q_3$, puis calculer les valeurs $p_6$ et $q_6$ à l'aide de la fonction etape_Archimede.
$\quad\;\;\;$Comparer avec les résultats de la question 1.4.
$\quad\;\;\;$Aide : On peut utiliser la syntaxe p,q = etape_Archimede(p,q).
#Effectuer ici les saisies
p = 3*sqrt(3)/2
q = 3*sqrt(3)
p,q
p,q = etape_Archimede(p,q)
p,q
1.6.a. Écrire une fonction Python Archimede :
# Écrire ici la fonction Archimede
def Archimede(h):
"""
fonction qui renvoie un encadrement de pi d'amplitude inférieur à h
"""
p = 3*sqrt(3)/2
q = 3*sqrt(3)
while q-p>=h:
p,q = etape_Archimede(p,q)
return p,q
$\quad$b. À l'aide d'un appel à la fonction Archimede, donner un encadrement de $\pi$ à $10^{-12}$ près.
#Effectuer ici un appel à la fonction Archimede
Archimede(10**-12)
Le but de cette partie est de démontrer que les suites $(p_n)_{n \geq 3}$ et $(q_n)_{n \geq 3}$ telles que $\displaystyle p_n= n \sin{\left( \frac{\pi}{n} \right)}$ et $\displaystyle q_n= n \tan{\left( \frac{\pi}{n} \right)}$ vérifient les formules utilisées dans la partie 1, c'est à dire :
- $\forall n \geq 3$ ; $\displaystyle q_{2n}=\frac{2 p_n q_n}{p_n+q_n}$
- $\forall n \geq 3$ ; $p_{2n} = \sqrt{ p_n q_{2n} }$
On admettra et on utilisera les formules de duplication suivante :On rappelle également que :
- $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \Big\{ \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} \; ; \; k\in \mathbb{Z} \Big\}$ ; $ \displaystyle \;\; \tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$
- $\forall x \in \mathbb{R}$ ; $\displaystyle \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\; \sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)$
- $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \Big\{ \frac{\pi}{2}+k\pi \; ; \; k\in \mathbb{Z} \Big\} $ ; $ \displaystyle \quad \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
2.1. Démontrer que $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R} - \Big\{ \frac{\pi}{2}+k\pi \; ; \; k\in \mathbb{Z} \Big\}$ ; $\quad 2\sin^2 (x) - \sin (2x) \tan (x) = 0 $.
$\quad\;$ En déduire que $p_{2n} = \sqrt{ p_n q_{2n} }$.
2.2. Démontrer successivement que pour tout $\displaystyle x\in \mathbb{R} - \Big\{ \frac{\pi}{4} +k\frac{\pi}{2} \; ; \; k\in \mathbb{Z} \Big\}$:
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Dernière modification de l'activité : Juillet 2022