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COURS DE TERMINALE - MATHEMATIQUES EXPERTES
Programme officiel : Programme Tale Math Expertes
Liens vers les exercices et démonstrations du manuel : Collection Barbazo - Option Mathématiques Expertes - Programme 2020.
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Calcul matriciel
1. Activité d'introduction
Une entreprise de fabrication de pièces de quincaillerie possède deux chaînes de production qui usinent des vis, des clous et des écrous.
Pour le 1er semestre 2020, le bilan de la production est consigné dans ce tableau :
1er semestre 2020 | Nombre de vis | Nombre de clous | Nombre d'écrous |
---|---|---|---|
Chaîne 1 | 5000 | 8000 | 7000 |
Chaîne 2 | 4000 | 10000 | 6000 |
2ème semestre 2020 | Nombre de vis | Nombre de clous | Nombre d'écrous |
---|---|---|---|
Chaîne 1 | 3000 | 7500 | 9000 |
Chaîne 2 | 5500 | 6500 | 5000 |
1. Écrire la matrice $A_2$ résumant les données de production du 2ème semestre 2020.
Coût (en €) | |
---|---|
Vis | 0,03 |
Clous | 0,01 |
Écrous | 0,04 |
$\;\;\;\;$a. Écrire la matrice $C$ correspondant à ce tableau.
$\;\;\;\;\;\;\;$Déterminer alors une matrice donnant les coûts de production de chaque chaîne au 1er semestre 2020.
$\;\;\;\;\;\;\;$Décrire la méthode de calcul de cette matrice à partir de $A_1$ et $C$.
$\;\;\;\;\;\;\;$La matrice ainsi obtenue est appelée produit des matrices $A_1$ et $C$ , et on la note $A_1 \times C$ ou $A_1C$.
$\;\;\;\;\;\;\;$On donne la matrice $R=\begin{pmatrix} 0,05 \\ 0,02 \\ 0,06 \end{pmatrix}$ donnant les recettes (en €) réalisées pour chaque pièce.
$\;\;\;\;$b. Calculer, de deux façons différentes, la matrice donnant les bénéfices réalisés par chaque chaîne au 1er semestre 2020.
$\;\;\;\;\;\;\;$Quelle propriété met-on ainsi en évidence ?
5. Produit de deux matrices.
Chaque pièce nécessite l’utilisation de fer, cuivre et zinc. Le tableau ci-dessous consigne ces compositions :
Composition | Masse de fer (en dg) | Masse de cuivre (en dg) | Masse de zinc (en dg) |
---|---|---|---|
Vis | 2 | 1 | 3 |
Clou | 4 | 1 | 1 |
Écrou | 3 | 2 | 2 |
$\;\;\;\;$a. Écrire ces besoins sous forme d'une matrice $M$.
$\;\;\;\;$b. À l'aide des matrices $A_1$ et $M$, calculer une matrice résumant les besoins en fer, cuivre et zinc pour les deux chaînes au 1er semestre 2020.
$\;\;\;\;\;\;\;$Décrire la méthode de calcul de cette matrice à partir de $A_1$ et $M$.
$\;\;\;\;\;\;\;$La matrice ainsi obtenue est appelée produit des matrices $A_1$ et $M$ , et on la note $A_1 \times M$ ou $A_1M$.
2. Opérations sur les matrices
2.1. Notion de matrice
Définition : Matrice à coefficients réels.
On appelle matrice à coefficients réels un tableau dont les élements sont des nombres réels.
Si la matrice comporte $n$ lignes et $m$ colonnes, on dit qu'elle est de dimension $n \times m$.
($n \in \mathbb{N}^*$ et $m \in \mathbb{N}^*$)
MATRICES CARRÉES
Dans le cas où une matrice a autant de lignes que de colonnes, on dit que c'est une matrice carrée d'ordre $n$ (où $n$ est le nombre de lignes et le nombre de colonnes).
Notation :
L'ensemble des matrices carrées de dimension $n \times n$, que nous étudierons plus particulièrement, est noté $\mathcal M_n(\mathbb{R})$.
On les appelle matrices carrées d'ordre $n$.
2.2. Produit d'une matrice par un réel, et somme de matrices
Définition : Produit d'une matrice par un réel.
Si $A$ est une matrice et $k \in \mathbb{R}$, alors on note $k \times A=kA$ la matrice obtenue en multipliant les coefficients de $A$ par $k$.
$$k \; A = k \; \begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,j}& ...& a_{1,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ a_{i,1} & ... & \color{green}{a_{i,j}}& ...& a_{i,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,j}& ...& a_{n,m} \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} k\;a_{1,1} & ... & k\;a_{1,j}& ...& k\;a_{1,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ k\;a_{i,1} & ... & \color{green}{k\;a_{i,j}}& ...& k\;a_{i,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ k\;a_{n,1} & ... & k\;a_{n,j}& ...& k\;a_{n,m} \end{pmatrix} $$
Définition :Somme de matrices.
Si $A$ et $B$ sont des matrices de même dimension, alors on appelle somme de $A$ et $B$ et on note $A+B$ la matrice dont les coefficients sont les sommes des coefficients des matrices $A$ et $B$ qui se correspondent deux à deux.
$$\color{blue}{A}+\color{green}{B}= \begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,j}& ...& a_{1,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ a_{i,1} & ... & \color{blue}{a_{i,j}}& ...& a_{i,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,j}& ...& a_{n,m} \end{pmatrix} \;+\; \begin{pmatrix} b_{1,1} & ... & b_{1,j}& ...& b_{1,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ b_{i,1} & ... & \color{green}{b_{i,j}}& ...& b_{i,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ b_{n,1} & ... & b_{n,j}& ...& b_{n,m} \end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix} a_{1,1}+b_{1,1} & ... & a_{1,1}+b_{1,j}& ...& a_{1,1}+b_{1,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ a_{i,1}+b_{i,1} & ... & \color{blue}{a_{i,j}}+\color{green}{b_{i,j}}& ...& a_{i,m}+b_{i,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ a_{n,1}+b_{n,1} & ... & a_{n,j}+a_{n,j}& ...& a_{n,m}+b_{n,m} \end{pmatrix} $$
Exercices :
Dans le manuel : n°3,5,1,6 p194
2.3. Produit de deux matrices
Définition : Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne.
Si $L$ est une matrice ligne $1 \times n$ et $C$ est une matrice colonne $n \times 1$, alors on appelle produit de $L$ par $C$ et on note $L\times C=LC$ la matrice $1 \times 1$ dont l'unique coefficient est obtenu en sommant les produits des coefficients de $L$ par $C$ pris deux à deux, dans l'ordre.
$$\color{blue}{L}\color{green}{C}=\color{blue}{\begin{pmatrix}l_1 & l_2 & ... & l_k & ... & l_n \end{pmatrix}}\color{green}{\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ ... \\ c_k \\ ... \\ c_n \end{pmatrix} }=\begin{pmatrix}\color{blue}{l_1}\color{green}{c_1}+\color{blue}{l_2}\color{green}{c_2}+...+\color{blue}{l_k}\color{green}{c_k}+...\color{blue}{l_n}\color{green}{c_n} \end{pmatrix} $$$$\begin{array}{c|c|c} \begin{matrix}\curvearrowright \\ \times \end{matrix} & \begin{matrix} \color{green}{\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ ... \\ c_k \\ ... \\ c_n \end{pmatrix} } & \color{red}{\downarrow} \end{matrix} \\ \hline \begin{matrix} \color{blue}{\begin{pmatrix}l_1 & l_2 & ... & l_k & ... & l_n \end{pmatrix}} \\ \color{red}{\longrightarrow} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{pmatrix}\color{blue}{l_1}\color{green}{c_1}+\color{blue}{l_2}\color{green}{c_2}+...+\color{blue}{l_k}\color{green}{c_k}+...\color{blue}{l_n}\color{green}{c_n} \end{pmatrix} \\ \; \end{matrix} \end{array}$$
Opération posée :
Définition : Produit de deux matrices.
Si $A$ est une matrice $n \times m$ et $B$ est une matrice $m \times p$, alors on appelle produit de $A$ par $B$ et on note $A\times B=AB$ la matrice $n \times p$ dont le coefficient de la i ème ligne et de la j ème colonne est obtenu en multipliant la i ème ligne de $A$ par la j ème colonne de $B$.
$$\color{blue}{A}\color{green}{B}=\begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,k}& ...& a_{1,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ \color{blue}{a_{i,1}} & \color{blue}{...} & \color{blue}{a_{i,k}}& \color{blue}{...} & \color{blue}{a_{i,m}} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,k}& ...& a_{n,m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1,1} & ... & \color{green}{b_{1,j}}& ...& b_{1,p} \\ ... & ... & \color{green}{...} & ...& ... \\ b_{k,1} & ... & \color{green}{b_{k,j}}& ...& b_{k,p} \\ ... & ... & \color{green}{...} & ...& ... \\ b_{m,1} & ... & \color{green}{b_{m,j}}& ...& b_{m,p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \\ ... & \color{blue}{a_{i,1}}\color{green}{b_{1,j}}+\color{blue}{a_{i,2}}\color{green}{b_{2,j}}+...+\color{blue}{a_{i,k}}\color{green}{b_{k,j}}+...\color{blue}{a_{i,m}}\color{green}{b_{m,j}}& ... \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \\ \end{pmatrix} $$$$\begin{array}{c|c|c} \begin{matrix}\curvearrowright \\ \times \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{pmatrix} b_{1,1} & ... & \color{green}{b_{1,j}}& ...& b_{1,p} \\ ... & ... & \color{green}{...} & ...& ... \\ b_{k,1} & ... & \color{green}{b_{k,j}}& ...& b_{k,p} \\ ... & ... & \color{green}{...} & ...& ... \\ b_{m,1} & ... & \color{green}{b_{m,j}}& ...& b_{m,p} \end{pmatrix} & \color{red}{\downarrow} \end{matrix} \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,k}& ...& a_{1,m} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ \color{blue}{a_{i,1}} & \color{blue}{...} & \color{blue}{a_{i,k}}& \color{blue}{...} & \color{blue}{a_{i,m}} \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,k}& ...& a_{n,m} \end{pmatrix} \\ \color{red}{\longrightarrow} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{pmatrix} ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \\ ... & \color{blue}{a_{i,1}}\color{green}{b_{1,j}}+\color{blue}{a_{i,2}}\color{green}{b_{2,j}}+...+\color{blue}{a_{i,k}}\color{green}{b_{k,j}}+...\color{blue}{a_{i,m}}\color{green}{b_{m,j}}& ... \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \\ \end{pmatrix} \\ \; \end{matrix} \end{array}$$
Opération posée :
Remarques :
- Attention, même quand le produit $AB$ de deux matrices peut être effectué, le produit $BA$ n'existe pas forcément.
De plus, même si $AB$ et $BA$ existent, on a en général $AB \ne BA$.
- Si $A \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ alors $AB \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$.
- Si $A \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ et $C$ est une matrice colonne $n \times 1$ alors $AC$ est une matrice colonne $n \times 1$.
Par exemple, pour $n=2$ :
$$\begin{array}{c|c|c} \begin{matrix}\curvearrowright \\ \times \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} & \color{red}{\downarrow} \end{matrix} \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{pmatrix} \\ \color{red}{\longrightarrow} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{pmatrix} a_{1,1}c_1 + a_{1,2}c_2 \\ a_{2,1}c_1 + a_{2,2}c_2 \\ \end{pmatrix} \\ \; \end{matrix} \end{array}$$- Si $L$ est une matrice ligne $1 \times n$ et $B \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ alors $LA$ est une matrice ligne $1 \times n$.
Par exemple, pour $n=2$ :
$$\begin{array}{c|c|c} \begin{matrix}\curvearrowright \\ \times \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \\ \end{pmatrix} & \color{red}{\downarrow} \end{matrix} \\ \hline \begin{matrix} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 \end{pmatrix} \\ \color{red}{\longrightarrow} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{pmatrix} l_1b_{1,1} + l_2b_{2,1} & l_1b_{1,2} + l_2b_{2,2} \\ \end{pmatrix} \\ \; \end{matrix} \end{array}$$
Exercices :
Propriété : Associativité et distributivité du produit de matrices.Remarques :
Pour toutes matrices $A$ , $B$ et $C$ dont les dimensions permettent d'effectuer les calculs ci-dessous, on a:
- $A(BC)=(AB)C$
- $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$
Exercices :
Exercice : Syntaxes Python :
On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.
#Cellule pour la question 2
from numpy import*
from numpy.linalg import*
A = array([[2,1],
[3,5]])
B = array([[4,7],
[2,2]])
3*A
#Cellule pour la question 2
A+2*B
#Cellule pour la question 2
A*B
#Cellule pour la question 2
dot(A,B)
#Cellule pour la question 3
#Cellule pour la question 3
#Cellule pour la question 3
2.4. Matrice identité et puissance d'une matrice.
Définition : Matrice identité d'ordre n.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
On appelle matrice identité d'ordre $n$ , et on note $I_n \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ la matrice composée :$$I_n = \begin{pmatrix} \color{coral}{1} & 0 & 0 & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & \color{coral}{1} & 0 & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & \color{coral}{1} & 0 & ... & ... & ...\\ ... & ... & 0 & \color{coral}{1} & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ... & ... & \color{coral}{1} & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... & 0 & \color{coral}{1} \end{pmatrix}$$
- de coefficients $1$ sur la diagonale principale ;
(les coefficients de la diagonale principale sont ceux dont l'indice de ligne est égal à l'indice de colonne)- de coefficients nuls ailleurs.
Remarque :
Dans les exercices, s'il n'y a pas de confusion possible sur sa dimension, la matrice $I_n$ sera parfois notée $I$.
Exercice :
On pose $A=\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$ ; $L=\begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Propriété : Élément neutre pour la multiplication dans $M_n(\mathbb{R}).$
$\forall A \in M_n(\mathbb{R})$ , on a :
- $AI_n=A$
- $I_nA=A$
Exercice :
Démontrer la propriété ci-dessus dans le cas où $n=2$, en détaillant les calculs.
Définition : Puissance d'une matrice carrée.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$ et $k \in \mathbb{N}$.
On appelle puissance $k^{\text{ème}}$ de $A$ la matrice définie par :
- $A^0=I_n$ si $k=0$;
- $A^k=\underbrace{A \times A \times A \times ... \times A}_{k \text{ facteurs}}$ si $k>0$.
Exercices :
#Question 2 : Saisir et stocker A dans cette cellule
from numpy import*
from numpy.linalg import*
#Question 2 : Tester les syntaxes
#Question 3 : Écrire la fonction puissance
#Question 4 : Tester la fonction puissance
3. Résolution matricielle de systèmes d'équations
3.1. Inverse d'une matrice carrée.
Définition : Inversibilité d'une matrice carrée.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
Soit $A \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ On dit que $A$ est inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $AB=I_n$ et $BA=I_n$.
Propriété : Conditions suffisantes pour l'inversibilité d'une matrice carrée.Remarque :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
Soit $A \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$.
On a : $AB=I_n \Longleftrightarrow BA=I_n$
Propriété : Unicité de la matrice pour l'inversibilité d'une matrice carrée.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
Si $A \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ est inversible, alors il existe une unique matrice $B \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ telle que $AB=BA=I_n$.
Exercice :
Démontrons la propriété ci-dessus. Supposons que $B_1$ et $B_2$ vérifient toutes deux la propriété énoncée.
Démontrer que $B_1AB_2=B_2$ puis que $B_1AB_2=B_1$. Conclure.
Cette propriété justifie la définition suivante :
Définition : Inverse d'une matrice carrée.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
Soit $A \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ inversible.
La matrice $B$ qui vérifie $AB=BA=I_n$ est appelée matrice inverse de $A$ , et on la note $A^{-1}$.
Exercices :
#Saisir les matrices A et B
from numpy import*
from numpy.linalg import*
#Tester ici l'appel à la fonction inv pour A
#Tester ici l'appel à la fonction inv pour B
Pour déterminer si une matrice carrée d'ordre 2 est inversible et déterminer dans ce cas son inverse, il existe une méthode générale...
Exercice :
Dans le manuel : n°66 p203
Propriété : Inversion d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal M_2(\mathbb{R})$.
Alors :
- $A$ est inversible $\Longleftrightarrow ad-bc \ne 0$ ;
- Dans le cas où $ad-bc \ne 0$ , l'inverse de $A$ est :
$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
Exercices :
3.2. Écriture matricielle d'un système linéaire d'équations
Définition : Système linéaire d'équations.
$(S) : \begin{Bmatrix} \color{blue}{a_{1,1}}\color{red}{x_1}+\color{blue}{a_{1,2}}\color{red}{x_2}+...+\color{blue}{a_{1,j}}\color{red}{x_j}+...+\color{blue}{a_{1,n}}\color{red}{x_n}=\color{green}{b_1} \\ \color{blue}{a_{2,1}}\color{red}{x_1}+\color{blue}{a_{2,2}}\color{red}{x_2}+...+\color{blue}{a_{2,j}}\color{red}{x_j}+...+\color{blue}{a_{2,n}}\color{red}{x_n}=\color{green}{b_2} \\ ...\\ \color{blue}{a_{i,1}}\color{red}{x_1}+\color{blue}{a_{i,2}}\color{red}{x_2}+...+\color{blue}{a_{i,j}}\color{red}{x_j}+...+\color{blue}{a_{i,n}}\color{red}{x_n}=\color{green}{b_i} \\ ...\\ \color{blue}{a_{n,n}}\color{red}{x_1}+\color{blue}{a_{n,2}}\color{red}{x_2}+...+\color{blue}{a_{n,j}}\color{red}{x_j}+...+\color{blue}{a_{n,n}}\color{red}{x_n}=\color{green}{b_n} \end{Bmatrix}$
où :est appelé système linéaire à $n$ équations et $n$ inconnues.
- $n \in \mathbb{N}, n \geq 2,$
- $(a_{i,j})_{ \begin{matrix} 1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \ n \end{matrix} }$ des coefficients fixés ;
- $(b_i)_{1 \leq i \leq n}$ des coefficients réels fixés ;
- $(x_j)_{1 \leq j \leq n}$ sont des inconnues réelles à déterminer ;
Propriété : Écriture matricielle d'un système linéaire.
Le système $(S)$ est équivalent à $AX=B$ où :
$\color{blue}{A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,j} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,j} & ... & a_{2,n} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{i,1} & a_{i,2} & ... & a_{i,j} & ... & a_{i,n} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,j} & ... & a_{n,n} \\ \end{pmatrix}} \;\;\text{ ; }\;\; \color{red}{X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_j \\ ... \\ x_n \\ \end{pmatrix}} \;\;\text{ et }\;\; \color{green}{B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_i \\ ... \\ b_n \\ \end{pmatrix}} $
Résoudre le système $(S)$ revient donc à déterminer les matrices $X$ vérifiant l'égalité matricielle $AX=B$.
Exercice :
Dans le manuel : n°33 p197
3.3. Méthode de résolution d'un système matriciel
Méthode : Méthode générale de résolution d'un système linéaire à $n$ équations et $n$ inconnues
- Écrire le système d'équations sous la forme $AX=B$ où $A \in \mathcal M_n(\mathbb{R})$ et $X,B$ sont des matrices colonnes $n \times 1$;
- Déterminer si la matrice $A$ est inversible. Arrêter si ce n'est pas le cas (voir remarque).
- Déterminer $A^{-1}$.
- $AX=B$ devient :
$A^{-1}AX=A^{-1}B$ (en multipliant à gauche par $A^{-1}$)
$X=A^{-1}B$ (car $A^{-1}A=I$)
Il s'agit même d'une équivalence puisqu'on peut remonter les étapes en multipliant à gauche par $A$.- Calculer $X=A^{-1}B$ et conclure :
Il existe une unique matrice $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_j \\ ... \\ x_n \\ \end{pmatrix}$ solution, et le système admet donc une unique solution $(x_1;x_2;...;x_j;..;x_n)$.
Remarque :
Dans le cas où la matrice $A$ n'est pas inversible, on admet que le système a :
Exercice :
#Zone de saisie pour l'exercice n°37 p197
from numpy import*
from numpy.linalg import*
A=array([[3,-2,1],
[-1,1,-2],
[2,-2,3]])
B=array([[17],[-12],[20]])
X=dot(inv(A),B)
X
#Zones de saisies pour vérification des résolutions du n°44 p198