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Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.
On considère l'évolution d'une population (fictive) de lapins, régie par les règles suivantes :Activer la cellule ci-dessous pour obtenir une illustration dynamique des premiers mois d'observation.
- Initialement, il y a un couple de jeunes lapins ;
- Un nouveau couple de lapins doit attendre 1 mois avant d'être adulte et de pouvoir se reproduire ;
- Chaque mois, chaque couple de lapins adulte donne naissance à un nouveau couple de jeunes lapins ;
- Les couples de lapins ne meurent jamais.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Fibonacci.html'))
On note $F_n$ le nombre de couples de lapins à l'étape $n$, où $n \in \mathbb{N}$ est le rang du mois de l'observation (en considérant que $n=0$ correspond à l'étape initiale).
1.1. Soit $n \in \mathbb{N}$. Exprimer $F_{n+2}$ en fonction de $F_{n+1}$ et $F_n$.
1.2. Exécuter les cellules Python suivantes. Pour chacune, expliquer ce que permet d'obtenir la syntaxe proposée.
Fibo = [1,1,2,3,5]
Fibo
Fibo[-1]
Fibo[-2]
a = Fibo[-1]+Fibo[-2]
Fibo.append(a)
Fibo
1.3. Écrire une fonction Python Fibonacci qui reçoit N non nul en argument et qui renvoie la liste des termes $F_n$ pour $0 \leq n \leq N$.
# Écrire ici la fonction Fibonacci
1.4. À l'aide la fonction Fibonacci, obtenir la liste des 30 premiers termes de la suite de Fibonacci $(F_n)_{n \geq 0}$.
# Écrire ici un appel à la fonction Fibonacci
Notations :Remarque :
- $\displaystyle \phi$ est une lettre grecque qui se lit "phi" ;
- $\displaystyle \psi$ est une lettre grecque qui se lit "psi".
Le nombre $\phi$ ainsi défini s'appelle le nombre d'or.
On pose $\displaystyle \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\displaystyle \psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, et on considère :
- la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ géométrique de premier terme $u_0=\phi$ et de raison $\displaystyle \phi$.
- la suite $(v_n)_{n \geq 0}$ géométrique de premier terme $v_0=\psi$ et de raison $\displaystyle \psi$.
2.0 Valider la cellule suivante.
$\;\;\;$Les fonctionnalités importées de sympy permettront d'effectuer des calculs avec racines carrées en valeurs exactes.
from sympy import sqrt,simplify
sqrt(5) # syntaxe pour la racine carrée de 5
2.1. Créer des variables Python phi et psi correspondant respectivement à $\phi$ et $\psi$.
$\quad\;\;$Écrire ensuite des fonctions Python u et v d'argument n permettant le calcul de $u_n$ et $v_n$.
#Utiliser ces zones de saisies pour créer phi et psi, puis pour définir u et v
2.2. Exécuter les cellules suivantes. Qu'observe-t-on ?
simplify( (u(3)-v(3))/sqrt(5) )
simplify( (u(4)-v(4))/sqrt(5) )
La formule de Binet affirme que pour tout $n \in \mathbb{N}$ ; $\displaystyle F_{n} = \frac{u_{n}-v_{n}}{\sqrt{5}} $.
2.3. Question différenciée suivant le niveau :
Version 1ère Spé Math
À l'aide de saisies Python, calculer $\displaystyle \frac{u_{n}-v_{n}}{\sqrt{5}}$ pour tous les entiers $n$ de 0 jusqu'à 29.
(on appliquera la fonction simplify)
Comparer les résultats avec ceux de la question 1.4.
Pour la suite, on admettra que la formule de Binet est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.Version Tale Spé Math
a. Démontrer que $\phi$ et $\psi$ sont les racines du polynôme $x²-x-1$.
$\quad$ ($\phi$ et $\psi$ vérifient donc $1+\phi=\phi^2$ et $1+\psi=\psi^2$).
b. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que la formule de Binet est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
# Zone pour les saisies Python (version 1ère Spé Math)
2.4.a. À l'aide des fonctions Python u et v, écrire une fonction Python F d'argument n qui permet le calcul direct de $F_n$.
# Écrire ici la fonction F
$\quad$b. Effectuer une saisie Python pour calculer $F_{10}$, puis pour calculer $F_{50}$.
# Effectuer ici les appels à la fonction F
3.1. Exécuter les cellules Python suivantes.
$\quad\;\;$Indiquer ce que permet d'obtenir chaque cellule. Quelle conjecture permettent-elles d'énoncer ?
float(F(21)/F(20))
float(F(101)/F(100))
float(phi)
3.2.a. Vérifier que $\displaystyle \left| \frac{\psi}{\phi} \right|<1$ et en déduire la limite de $\displaystyle \left( \frac{\psi}{\phi} \right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
$\quad\;$b. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ ; $\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}= \phi \times \frac{1-\left( \frac{\psi}{\phi} \right)^{n+2}}{1-\left( \frac{\psi}{\phi} \right)^{n+1}}$.
$\quad\;$c. Conclure : Quelle est la limite de $\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
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