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Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$, on considère trois points distincts $A$ ; $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ et $z_C$.
1. En utilisant le point $M$ défini par $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$, démontrer le résultat suivant :
À RETENIR
Interprétation géométrique de $z_B-z_A$ :
- $\left| z_B-z_A \right| = AB$
- $ arg \left( z_B-z_A \right) = \left( \overrightarrow{u} \;;\overrightarrow{AB} \right) \;[2\pi]$
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexeprop1.html'))
2. À l'aide de la propriété précédente, démontrer que :
À RETENIR
Interprétation géométrique de $\displaystyle \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ :
- $ \displaystyle \left| \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right| = \frac{AC}{AB}$
- $ \displaystyle arg \left( \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right) = \left( \overrightarrow{AB} \;;\overrightarrow{AC} \right) \;[2\pi]$
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexeprop2.html'))
Exercice 1 :
On considère les points $A$ ; $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=1+i$ ; $z_B=2+3i$ et $z_C=-1+2i$.
Le module sympy permet :Exécuter les cellules suivantes pour vérifier les calculs précédents.
- d'effectuer des calculs sous forme exacte avec racines carrées et $\pi$ avec les syntaxes sqrt et pi ;
- de créer un nombre complexe avec la syntaxe majuscule I pour le complexe $i$ ;
- de simplifier une expression avec la fonction simplify ;
- de calculer le module et l'argument d'un complexe respectivement à l'aide des fonctions abs et arg.
# Import du module sympy
from sympy import *
# Mise en mémoire des valeurs de z_A; z_B et z_C
z_A = 1+I ; z_B = 2+3*I ; z_C = -1+2*I
# Calcul de m
m = (z_C-z_A)/(z_B-z_A)
m
# Évaluation de la valeur de m
simplify(m)
# Détermination du module de m
abs(m)
# Détermination de l'argument de m
arg(m)
Exercice 2 :
# Utiliser ces zones de saisie pour vérifier les calculs relatifs au triangle DEF
# Utiliser ces zones de saisie pour vérifier les calculs relatifs au triangle IJK
Dans cette partie, on dira qu'un triangle $ABC$ est :
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexedirindir.html'))
On admettra également la généralisation des résultats vus précédemment, pour 4 points $A$ ; $B$ ; $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ ; $z_C$ et $z_D$.
Interprétation géométrique de $\displaystyle \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}$ :
- $ \displaystyle \left| \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right| = \frac{CD}{AB}$
- $ \displaystyle arg \left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right) = \left( \overrightarrow{AB} \;;\overrightarrow{CD} \right) \;[2\pi]$
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexeconfig1.html'))
$\quad\;\;$b. Déterminer les affixes respectives $z_B$ ; $z_D$ et $z_M$ des points $B$ ; $D$ et $M$.
$\quad\;\;$c. À l'aide de saisies Python, déterminer la valeur de $\displaystyle \frac{z_M}{z_D-z_A}$.
$\quad\quad\;$Vérifier ensuite par le calcul le résultat obtenu à la question c.
# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs
$\;\;\;$a. Exécuter les cellules Python suivantes (la fonction conjugate permet de calculer le conjugué d'un complexe).
$\quad\;\;$Quelles relations vérifiées par $j$ obtient-on ?
$\quad\;\;$Vérifier ces résultats par le calcul, et justifier en particulier que $1+j=e^{i\frac{\pi}{3}}$
j = (-1+I*sqrt(3))/2
j
simplify(j**3)
simplify(j**2-conjugate(j))
simplify(1+j+j**2)
simplify(1+j)
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexeconfig2.html'))
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