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On considère la fonction $h$ définie par $h(x)=x^2$ pour $x∈\mathbb{R}$.
Le but de l’exercice est de déterminer des valeurs approchées de la longueur de la portion de la courbe de la fonction $h$ pour $x∈[0;1]$.
Pour cela, on décide dans un premier temps d’approcher la courbe à l’aide de $4$ segments, en utilisant des abscisses régulièrement espacées, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
(Pour faire apparaître et activer la figure dynamique, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée).
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import HTML ; HTML("""<iframe scrolling="no" title="Longueur d'une courbe" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qskuraat/width/520/height/520/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="520px" height="520px" style="border:0px;"> </iframe>""")
1. Ecrire une fonction Python h qui prend une valeur x en argument et renvoie l’image de $x$ par $h$.
#Ecrire ici la fonction
2. Ecrire une fonction Python long_segment qui prend en argument les coordonnées de deux points $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ et qui renvoie la longueur du segment $AB$.
Rappel : On peut calculer la racine carrée à l’aide de la fonction Python sqrt, accessible avec l’appel « from math import* ».
from math import*
# Ecrire la fonction
3. Tester la fonction approx_long_courbe ci-dessous, qui permet de représenter les $4$ segments approchant la courbe de $h$.
import matplotlib.pyplot as plt
def approx_long_courbe():
# initialisation du graphique
plt.figure()
for k in range(4):
# calcul des abscisses de deux points consécutifs
x1=k/4
x2=(k+1)/4
# affichage du segment reliant ces points
plt.plot([x1,x2],[h(x1),h(x2)],color='blue')
# ouverture de la fenetre graphique et affichage
plt.show()
# (fonctionnalités désactivées dans le Notebook Jupyter)
# attente d'une action de clic sur la fenetre puis fermeture
# plt.waitforbuttonpress()
# plt.close()
return None
# Tester la fonction
approx_long_courbe()
Compléter cette fonction pour qu’elle renvoie la longueur totale de la ligne polygonale.
Aide : Calculer la longueur de chaque segment dans la boucle.
Donner une approximation de la longueur de la courbe de la fonction $h$ sur $[0;1]$.
# Modifier la fonction et effectuer les saisies nécessaires
On souhaite maintenant augmenter le nombre de segments pour obtenir des approximations de plus en plus précises de la longueur de la courbe.
Vous pouvez modifier la valeur du curseur n sur la figure fournie précédemment.
4. Modifier la fonction pour qu’elle permette l’affichage et le calcul de la longueur d’une ligne polygonale composée de $n$ segments, où $n$ est un entier non nul donné en argument. Donner des approximations de la longueur de la courbe de la fonction $h$ sur $[0;1]$ obtenues avec $10$ segments, puis $1000$ segments.
# Modifier la fonction précédente et tester ici
5. Pour aller plus loin : Adapter la méthode précédente pour donner une approximation de la longueur de la courbe des cubes sur l’intervalle $[-10;10]$.
# Effectuer les saisies nécessaires
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Dernière modification de l'activité : Juillet 2022