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Cet exercice est inspiré d'un sujet de Bac S (Métropole 2015).
1. Présentation de la situation étudiée
2. Approximation de l'aire de la surface avant
3. Approximation de l'aire de la surface supérieure
4. Approximation de l'aire de la surface totale
$\quad\quad$Exécuter la cellule ci-dessous pour obtenir la figure dynamique.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import HTML ; HTML("""<iframe scrolling="no" title="Rampe Skateboard" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/r5c8qhgy/width/885/height/692/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="957px" height="692px" style="border:0px;"> </iframe>""")
Situation étudiée et but du problème :
La figure fournie permet de visualiser en perspective cavalière une rampe de skateboard, qu'une municipalité souhaite installer dans un parc de la commune. Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.
Présentation de la rampe :
- Les quadrilatères $OAD′D$ ; $DD′C′C$, et $OAB′B$ sont des rectangles ;
- Le plan de face $(OBD)$ est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.
Dans ce plan, le profil de la rampe de skateboard est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;20]$ par :
$f(x)=(x+1)ln(x+1)-3x+7$
- L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres et sa longueur est de 20 mètres.
Autrement dit, on a $DD′=10$ et $OD=20$.
Dans cette partie, on souhaite approcher la valeur de l'aire de la surface latérale avant, dans le plan de face $(ODB)$.
On considère dans le repère $(O,I,J)$ du plan de face :
- les points $B_k(k;f(k))$ pour $0 \leq k \leq 20\quad$ (ainsi, on a $B_0=B$ et $B_{20}=C$).
- les points $D_k(k;0)$ pour $0 \leq k \leq 20\quad$ (ainsi, on a $D_0=O$ et $D_{20}=D$).
$\quad\;\;$NB : On peut faire apparaître ces points sur la figure dynamique fournie en cochant la case "Annotations surface avant".
2.1.a. Écrire une fonction Python f qui reçoit une valeur $x$ en argument et renvoie la valeur $f(x)$.
$\quad\;\;$Aide : La syntaxe from math import log permet d'utiliser la fonction log qui correspond au logarithme népérien $ln$.
from math import log # import de la fonction log
# Écrire ici la fonction f
$\quad$b. Tester la fonction f en calculant $f(0)$ et $f(20)$.
# Effectuer ici les appels à la fonction f
2.2.a. Démontrer que, pour tout $0 \leq k \leq 19$, l'aire du trapèze $D_kD_{k+1}B_{k+1}B_k$ vaut $\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}{2}$.
$\;\quad$b. Écrire une fonction Python trapeze qui reçoit en argument la valeur $k$ et renvoie l'aire de $D_kD_{k+1}B_{k+1}B_k$.
#Écrire ici la fonction trapeze
$\;\quad$c. Tester la fonction trapeze en calculant les aires des trapèzes $D_0D_1B_1B_0$ et $D_{19}D_{20}B_{20}B_{19}$.
# Effectuer ici les appels à la fonction trapeze
2.3. On souhaite approcher l'aire de la surface avant en calculant la somme des aires des trapèzes $D_kD_{k+1}B_{k+1}B_k \;$(avec $0\leq k\leq19$).
$\quad\;\;$a. Écrire une fonction Python surface_avant qui effectue ce calcul.
$\quad\;\;$Aide : On pourra initialiser une variable S à 0, puis utiliser une boucle de type for pour ajouter l'une après l'autre les aires des trapèzes.
# Écrire ici la fonction surface_avant
$\quad\;\;$b. Effectuer un appel à cette fonction pour évaluer l'aire de la surface avant.
# Effectuer ici l'appel à la fonction surface_avant
Dans cette partie, on souhaite approcher la valeur de l'aire de la surface supérieure.
On considère :
- dans le repère $(O,I,J)$ du plan de face :
les points $B_k(k;f(k))$ pour $0 \leq k \leq 20\quad$ (ainsi, on a $B_0=B$ et $B_{20}=C$).
- les points $B'_k$ obtenus par projection orthogonale des points $B_k$ sur le plan arrière $(AD'B')$ (ainsi, on a $B'_0=B'$ et $B'_{20}=C'$).
$\quad\;\;$NB : On peut faire apparaître ces points sur la figure dynamique fournie en cochant la case "Annotations surface supérieure".
3.1.a. Démontrer que, pour tout $0 \leq k \leq 19$, on a $\displaystyle B_kB_{k+1} = \sqrt{1+ \left( f(k+1)-f(k) \right) ^2}$.
$\quad\quad$En déduire une expression de l'aire du rectangle $B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k \;$
$\quad\;\;$b. Écrire une fonction Python rectangle qui reçoit une valeur $k$ en argument et renvoie la valeur de l'aire de $B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k \;$.
$\quad\quad\;\;$Aides :
$\quad\quad\;\;$La syntaxe from math import sqrt permet d'utiliser la fonction sqrt pour le calcul d'une racine carrée.
$\quad\quad\;\;$On pourra utiliser la fonction Python f définie précédemment dans la partie 2.
from math import sqrt # import de la fonction sqrt
# Écrire ici la fonction rectangle
$\;\quad$c. Tester la fonction rectangle en calculant les aires des rectangles $B_0B_1B'_1B'_0$ et $B_{19}B_{20}B'_{20}B'_{19}$.
# Effectuer ici les appels à la fonction rectangle
3.2. On souhaite approcher l'aire de la surface supérieure en calculant la somme des aires des rectangles $B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k \;$(avec $0\leq k\leq19$).
$\quad\;\;$a. Écrire une fonction Python surface_superieure qui effectue ce calcul.
$\quad\;\;$Aide : On pourra s'inspirer de la fonction Python surface_avant écrite dans la partie 2.
# Écrire ici la fonction surface_superieure
$\quad\;\;$b. Effectuer un appel à cette fonction pour évaluer l'aire de la surface supérieure.
# Effectuer ici l'appel à la fonction surface_superieure
Dans cette partie, on souhaite approcher la valeur de l'aire de la surface à peindre totale, c'est à dire :
- la face supérieure ;
- les 4 faces latérales.
A l'aide de saisies Python, obtenir une valeur approchée de cette aire.
# Effectuer ici la(les) saisie(s) Python nécessaire
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Dernière modification de l'activité : Juillet 2022