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Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $$\displaystyle S_n=1+2+...+n=\sum\limits_{k=1}^{n}{k} $$
1.1. Écrire une fonction Python somme_entiers qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $S_n$.
$\quad\;$On pourra utiliser une boucle for et un accumulateur.
#Écrire ici la fonction somme_entiers
def somme_entiers(n):
"""
fonction qui calcule la somme des entiers naturels de 1 à n
"""
S=0
for k in range(1,n+1):
S=S+k
return S
#Tester ici la fonction somme_entiers
somme_entiers(3)
6
1.2.a. Activer la cellule ci-dessous.
$\quad\quad$Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $2\times S_n$ peut se ramener à un simple produit.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Somme_entiers.html'))
$\quad\;$b. En utilisant cette méthode, calculer à la main $S_{10}$.
$\quad\quad$Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_entiers.
$\displaystyle S_{10}=\frac{10\times 11}{2}=55$
#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification
somme_entiers(10)
55
$\quad\;$c. Conjecturer une expression de $S_n$ en fonction de $n$.
Il semble que $\displaystyle S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$
1.3. On souhaite maintenant démontrer la formule conjecturée à la question 1.2.c :
Version 1ère Spé Math
Additionner terme à terme l'expression de $2 \times S_n$ donnée ci-dessous, et en déduire l'expression de $S_n$ en fonction de $n$
$$\begin{matrix} 2 \times S_n & =& & 1 &+ & 2 &+ & 3 &+ & ... &+ & (n-1) &+ & n \\ & & + & n &+ & (n-1) &+ & (n-2) &+ & ... &+ & 2 &+ & 1 \end{matrix}$$
Version Tale Spé Math
Démontrer par récurrence la formule conjecturée en 1.2.c.
Version 1ère Spé Math
$\begin{matrix} 2 \times S_n & =& & 1 &+ & 2 &+ & 3 &+ & ... &+ & (n-1) &+ & n \\ & & + & n &+ & (n-1) &+ & (n-2) &+ & ... &+ & 2 &+ & 1 \end{matrix}$
$2 \times S_n = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) $ avec $n$ facteurs
$2 \times S_n = n(n+1)$
$ \displaystyle S_n = \frac{n(n+1)}{2}$
Version Terminale Spé Math
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $P(n)$ : "$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$".
- $S_1=1$ et $\displaystyle \frac{1(1+1)}{2}=1$ donc $P(1)$ est vraie.
- Supposons que $P(n)$ soit vraie pour un $n \in \mathbb{N}^*$ quelconque fixé.
Alors :
$S_{n+1}=1+2+...+n+(n+1)$
$S_{n+1}=S_n+(n+1)$
$\displaystyle S_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$ (par hypothèse de récurrence)
$\displaystyle S_{n+1}=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$ (en réduisant au même dénominateur)
$\displaystyle S_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ (en factorisant par $(n+1)$ le numérateur)
Ceci prouve que $P(n+1)$ est vraie. $P$ est donc héréditaire.- Conclusion :
$P(n)$ est fondée en $n=1$ et héréditaire pour $n\geq1$,
donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
1.4. À l'aide de la formule obtenue, calculer $S_{100}=1+2+...+100$ puis vérifier le résultat à l'aide de la fonction Python somme_entiers.
#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification
somme_entiers(100)
5050
1.5. Dans cette question, on pose pour $n \in \mathbb{N}^*$:
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $$\displaystyle T_n=1^2+2^2+...+n^2=\sum\limits_{k=1}^{n}{k^2} $$
2.1. Écrire une fonction Python somme_carres qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $T_n$.
$\quad\;$On pourra s'inspirer de la fonction somme_entiers écrite dans la partie 1.
#Écrire ici la fonction somme_carres
def somme_carres(n):
"""
fonction qui calcule la somme des carrés des entiers naturels de 1 à n
"""
S=0
for k in range(1,n+1):
S=S+k**2
return S
#Tester ici la fonction somme_carres
somme_carres(5)
55
2.2.a. Activer la cellule ci-dessous.
$\quad\quad$Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $6\times T_n$ peut se ramener au calcul de volume d'un parallélépipède.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Somme_carres.html'))
$\quad\;$b. En utilisant cette méthode, calculer à la main $T_{6}$.
$\quad\quad$Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_carres.
#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification
somme_carres(6)
91
$\quad\;$c. Conjecturer une expression de $T_n$ en fonction de $n$.
Il semble que $\displaystyle T_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
2.3. On souhaite maintenant démontrer la formule conjecturée à la question 2.2.c :
Version 1ère Spé Math
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $\displaystyle v_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
- Déterminer la valeur de $v_1$ et démontrer que $v_{n+1}=v_n+(n+1)^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
- On admet que si deux suites ont le même premier terme et vérifient la même relation de récurrence, alors elles sont égales.
Conclure.
Version Terminale Spé Math
Démontrer par récurrence la formule conjecturée en 2.2.c.
Version 1ère Spé Math
On a $\displaystyle v_1=\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}=1$ et:
$\displaystyle v_n+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$
$\displaystyle v_n+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}$ (en réduisant au même dénominateur)
$\displaystyle v_n+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}$ (en factorisant par $(n+1)$)
$\displaystyle v_n+(n+1)^2=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$
D'autre part, on a :
$(n+2)(2(n+1)+1)=(n+2)(2n+3)=2n^2+7n+6$
donc :
$\displaystyle v_n+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$
et donc :
$\displaystyle v_n+(n+1)^2=v_{n+1}$
Au final, les suites $(v_n)_{n\geq1}$ et $(T_n)_{n\geq1}$ vérifient la même formule de récurrence et on a $v_1=1=T_1$, donc $\forall n \in \mathbb{N}^*$ on a $\displaystyle T_n=v_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Version Terminale Spé Math
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $P(n)$ : "$T_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$".
- $T_1=1$ et $\displaystyle \frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}=1$ donc $P(1)$ est vraie.
- Supposons que $P(n)$ soit vraie pour un $n \in \mathbb{N}^*$ quelconque fixé.
Alors :
$T_{n+1}=1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2$
$T_{n+1}=T_n+(n+1)^2$
$\displaystyle T_{n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$ (par hypothèse de récurrence)
$\displaystyle T_{n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}$ (en réduisant au même dénominateur)
$\displaystyle T_{n+1}=\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}$ (en factorisant par $(n+1)$)
$\displaystyle T_{n+1}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$
D'autre part, on a :
$(n+2)(2(n+1)+1)=(n+2)(2n+3)=2n^2+7n+6$
donc :
$\displaystyle T_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$
Ceci prouve que $P(n+1)$ est vraie. $P$ est donc héréditaire.- Conclusion :
$P(n)$ est fondée en $n=1$ et héréditaire pour $n\geq1$,
donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
$$\displaystyle C_n=1^3+2^3+...+n^3=\sum\limits_{k=1}^{n}{k^3} $$
3.1. Écrire une fonction Python somme_cubes qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $C_n$.
$\quad\;$On pourra s'inspirer des fonctions somme_entiers et somme_carres écrites dans les parties 1 et 2.
#Écrire ici la fonction somme_cubes
def somme_cubes(n):
"""
fonction qui calcule la somme des cubes des entiers naturels de 1 à n
"""
S=0
for k in range(1,n+1):
S=S+k**3
return S
#Tester ici la fonction somme_carres
somme_cubes(3)
36
3.2.a. Activer la cellule ci-dessous.
$\quad\quad$Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $C_n$ peut se ramener au calcul de l'aire d'un carré.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Somme_cubes.html'))
$\quad\;$b. À l'aide de cette méthode, exprimer $C_{5}$ en fonction de $S_5=1+2+...+5$.
$\quad\quad$Calculer $S_5$ et en déduire la valeur de $C_{5}$.
$\quad\quad$Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_cubes.
#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification
somme_cubes(5)
225
3.3. On souhaite maintenant démontrer que $\displaystyle C_n={S_n}^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Version 1ère Spé Math
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $\displaystyle w_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
- Déterminer la valeur de $w_1$ et démontrer que $w_{n+1}=w_n+(n+1)^3$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
- On admet que si deux suites ont le même premier terme et vérifient la même relation de récurrence, alors elles sont égales.
Conclure.
Version Terminale Spé Math
Démontrer la formule par récurrence.
Version 1ère Spé Math
On a $\displaystyle w_1=\frac{1^2\times(1+1)^2}{4}=1$ et:
$\displaystyle w_n+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$
$\displaystyle w_n+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}$ (en réduisant au même dénominateur)
$\displaystyle w_n+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}$ (en factorisant par $(n+1)^2$)
$\displaystyle w_n+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}$
$\displaystyle w_n+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$ (en factorisant à l'aide d'une identité remarquable)
$\displaystyle w_n+(n+1)^3=w_{n+1}$
Au final, les suites $(w_n)_{n\geq1}$ et $(C_n)_{n\geq1}$ vérifient la même formule de récurrence et on a $w_1=1=C_1$, donc $\forall n \in \mathbb{N}^*$ on a $\displaystyle C_n=w_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
Version Terminale Spé Math
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $P(n)$ : "$C_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$".
- $C_1=1$ et $\displaystyle \frac{1^2(1+1)^2}{4}=1$ donc $P(1)$ est vraie.
- Supposons que $P(n)$ soit vraie pour un $n \in \mathbb{N}^*$ quelconque fixé.
Alors :
$C_{n+1}=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3$
$C_{n+1}=C_n+(n+1)^2$
$\displaystyle C_{n+1}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$ (par hypothèse de récurrence)
$\displaystyle C_{n+1}=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}$ (en réduisant au même dénominateur)
$\displaystyle C_{n+1}=\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}$ (en factorisant par $(n+1)^2$)
$\displaystyle C_{n+1}=\frac{(n+1)(n^2+4n+4)}{4}$
$\displaystyle C_{n+1}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$ (en factorisant à l'aide d'une identité remarquable)
Ceci prouve que $P(n+1)$ est vraie. $P$ est donc héréditaire.- Conclusion :
$P(n)$ est fondée en $n=1$ et héréditaire pour $n\geq1$,
donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/