Table of Contents¶

def successeur(i : int) -> int:
    assert isinstance(i, int), "Erreur : i = {} doit etre entier.".format(i)
    assert i >= 0, "Erreur : i = {} doit etre >= 0.".format(i)
    return i + 1

In [2]:

successeur(3)
successeur(2 * 2)
successeur(2.5)

Out[2]:

---------------------------------------------------------------------------
AssertionError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-2-92b9c730a603> in <module>()
      1 successeur(3)
      2 successeur(2 * 2)
----> 3 successeur(2.5)

<ipython-input-1-b140c23d4c3e> in successeur(i)
      1 def successeur(i : int) -> int:
----> 2     assert isinstance(i, int), "Erreur : i = {} doit etre entier.".format(i)
      3     assert i >= 0, "Erreur : i = {} doit etre >= 0.".format(i)
      4     return i + 1

AssertionError: Erreur : i = 2.5 doit etre entier.

Exercice 5¶

In [4]:

def produit3(x, y, z):
    return x * y * z

produit3_2 = lambda x, y, z: x * y * z

produit3_3 = lambda x: lambda y: lambda z: x * y * z

In [5]:

produit3(1, 2, 3)
produit3_2(1, 2, 3)
produit3_3(1)(2)  # lambda z : 1 * 2 * z
f = produit3_3(1)(2)  # lambda z : 1 * 2 * z
f(3)
produit3_3(1)(2)(3)

Out[5]:

<function __main__.<lambda>.<locals>.<lambda>.<locals>.<lambda>(z)>

Out[5]:

Exercice 6¶

In [6]:

def exercice6(n : int) -> None:
    for i in range(1, n + 1):
        print(i)
    for i in range(n, 0, -1):
        print(i)

In [7]:

exercice6(4)

Récursivité¶

C'est simple. Pas besoin d'un mot clé rec quand on définit une fonction récursive en Python.

Exercice 7¶

In [8]:

def factorielle(n : int) -> int:
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return n * factorielle(n - 1)

In [10]:

for i in range(8):
    print("{}! = {:>5}".format(i, factorielle(i)))
    # Note : ce {:>5} signifie que l'affichage utilise au moins
    # 5 caractères, pour avoir un joli alignement :

Exercice 8¶

Pour ce genre de fonction, j'aime bien afficher les appels récursifs. On peut rendre ça optionnel, avec comme ici un argument nommé log, à valeur par défaut log=False.

In [1]:

def pgcd(x : int, y : int, log: bool=False) -> int:
    if log: print("x = {:>7}, y = {:>7}".format(x, y))
    assert x >= 0 and y >= 0
    if y == 1:
        return 1
    elif y == x or y == 0:
        return x
    if x < y:
        return pgcd(x, y % x, log=log)
    else:
        return pgcd(y, x % y, log=log)

In [2]:

pgcd(10, 5)

Out[2]:

On peut faire des essais pour afficher notre calcul de PGCD, sur des entiers aléatoires entre $1$ et $100$.

Pour se rassurer, on peut chercher dans la bibliothèque standard, à partir de Python 3.6 il y a la fonction math.gcd pour calculer le PGCD, sinon fractions.gcd ou encore dans le module (non standard) SymPy sympy.gcd.

In [15]:

try:
    from math import gcd
except ImportError:
    try:
        from fractions import gcd
    except ImportError:
        from sympy import gcd


from random import randint
for _ in range(10):
    x = randint(1, 100)
    y = randint(1, 100)
    d = pgcd(x, y)
    print("{:>3} ^ {:>3} = {:>3}".format(x, y, d))
    assert d == gcd(x, y), "Erreur : mauvais calcul de pgcd(x={}, y={}) = {}, alors qu'il devrait etre = {}.".format(x, y, pgcd(x, y), gcd(x, y))

 61 ^  61 =  61
 44 ^  85 =   1
 48 ^  79 =   1
 84 ^  83 =   1
 17 ^  20 =   1
 39 ^   2 =   1
 30 ^  68 =   2
 14 ^  87 =   1
 46 ^  63 =   1
 83 ^  84 =   1

Exercice 9¶

Rien de particulier à faire, la récursivité fonctionne sans réfléchir :

In [17]:

def fibonacci(n : int) -> int:
    assert n >= 0
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

Dans IPython (ou Jupyter) on peut facilement mesurer le temps (moyen) d'exécution d'une fonction sur une entrée donnée, avec la macro %timeit.

In [18]:

%timeit fibonacci(35)

4.92 s ± 90.1 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

Dans Python, on peut faire pareil avec timeit() du module timeit.

In [21]:

from timeit import timeit
timeit("fibonacci(35)", globals=globals())

---------------------------------------------------------------------------
KeyboardInterrupt                         Traceback (most recent call last)
<ipython-input-21-366740404d3d> in <module>()
      1 from timeit import timeit
----> 2 timeit("fibonacci(35)", globals=globals())

/usr/lib/python3.6/timeit.py in timeit(stmt, setup, timer, number, globals)
    231            number=default_number, globals=None):
    232     """Convenience function to create Timer object and call timeit method."""
--> 233     return Timer(stmt, setup, timer, globals).timeit(number)
    234 
    235 def repeat(stmt="pass", setup="pass", timer=default_timer,

/usr/lib/python3.6/timeit.py in timeit(self, number)
    176         gc.disable()
    177         try:
--> 178             timing = self.inner(it, self.timer)
    179         finally:
    180             if gcold:

<timeit-src> in inner(_it, _timer)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      4         return 1
      5     else:
----> 6         return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

<ipython-input-17-b58d34000f68> in fibonacci(n)
      1 def fibonacci(n : int) -> int:
----> 2     assert n >= 0
      3     if n == 0 or n == 1:
      4         return 1
      5     else:

KeyboardInterrupt:

Pour la version qui est en complexité (temporelle) linéaire dans l'entrée $n$, il suffit de déplier la récursion en calculant $F_{n+1}$ progressivement en partant de $F_0, F_1$.

In [77]:

def fibonacci_lin(n : int) -> int:
    un, uns = 1, 1
    for _ in range(n):
        un, uns = uns, un + uns
    return un

On peut vérifier que cette deuxième implémentation fonctionne comme la première, et ensuite vérifier qu'elle est (bien) plus rapide.

In [79]:

for i in range(10):
    assert fibonacci(i) == fibonacci_lin(i)

In [80]:

%timeit fibonacci_lin(35)

1.79 µs ± 27.3 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000000 loops each)

Voilà la différence.

Exercice 10¶

Aucune hypothèse n'est faite sur les arguments de la fonction, on supposera seulement qu'elle est itérable sur sa sortie.

In [44]:

from types import FunctionType  # inutile, juste pour faire joli

# première version, f : type x -> type x (simple)
def itere(f : FunctionType, n : int) -> FunctionType:
    def fn(x):
        for _ in range(n):
            x = f(x)
        return x
    return fn

In [45]:

itere(lambda x: x + 1, 10)(1)

Out[45]:

In [119]:

# deuxième version, f : tuple -> tuple (simple)
def itere2(f : FunctionType, n : int) -> FunctionType:
    def fn(*args):
        for _ in range(n):
            if isinstance(args, tuple):
                args = f(*args)
            else:
                args = f(args)
        if isinstance(args, tuple) and len(args) == 1:
            return args[0]
        else:
            return args
    return fn

In [132]:

def plusun(x):
    return x + 1

itere2(plusun, 10)(1)

def foisdeux(x, y):
    return x * 2, y * 2

itere2(foisdeux, 10)(1, 2)

Out[132]:

(1024, 2048)

Exercice 11¶

C'est assez naturel, on affiche la suite de mouvement à faire, comme une suite de "T1 -> T2" par exemple.

In [144]:

def hanoi(x : str, y : str, z : str, n : int) -> None:
    def hanoiaux(orig : str, dest : str, inter : str, n : int):
        if n == 0:
            return 0
        c1 = hanoiaux(orig, inter, dest, n - 1)
        print("{} -> {}".format(orig, dest))
        c2 = hanoiaux(inter, dest, orig, n - 1)
        return c1 + 1 + c2
    return hanoiaux(x, z, y, n)

In [145]:

hanoi("T1", "T2", "T3", 1)

T1 -> T3

Out[145]:

In [146]:

hanoi("T1", "T2", "T3", 2)

T1 -> T2
T1 -> T3
T2 -> T3

Out[146]:

In [148]:

hanoi("T1", "T2", "T3", 5)  # 31 = 2^5 - 1

T1 -> T3
T1 -> T2
T3 -> T2
T1 -> T3
T2 -> T1
T2 -> T3
T1 -> T3
T1 -> T2
T3 -> T2
T3 -> T1
T2 -> T1
T3 -> T2
T1 -> T3
T1 -> T2
T3 -> T2
T1 -> T3
T2 -> T1
T2 -> T3
T1 -> T3
T2 -> T1
T3 -> T2
T3 -> T1
T2 -> T1
T2 -> T3
T1 -> T3
T1 -> T2
T3 -> T2
T1 -> T3
T2 -> T1
T2 -> T3
T1 -> T3

Out[148]:

Listes¶

Exercice 12¶

Les listes en Python sont des list.

Elles ne fonctionnent pas comme des listes simplement chaînées comme en Caml : ce sont des tableaux, donc l'accès à T[i] pour n'importe quel i est en $\mathcal{O}(1)$ pour n'importe quel i et n.

In [152]:

def concatene(liste1 : list, liste2 : list) -> list:
    # return liste1 + liste2  # solution facile
    n1, n2 = len(liste1), len(liste2)
    res = []
    for i in range(n1 + n2):
        if i < n1:
            res.append(liste1[i])
        else:
            res.append(liste2[i - n1])
    return res

In [153]:

concatene([1, 2, 3], [4, 5])

Out[153]:

[1, 2, 3, 4, 5]

Exercice 13¶

In [163]:

from types import FunctionType

def applique(f : FunctionType, liste : list) -> list:
    res = [f(x) for x in liste]  # solution facile
    res = map(f, liste)  # encore plus facile
    # en itérant la liste :
    res = [ ]  # tableau vide
    for x in liste:
        res.append(f(x))
    # en itérant ses valeurs :
    res = [ ]  # tableau
    for i in range(len(liste)):
        res.append(f(liste[i]))
    return res

In [164]:

applique(lambda x : x + 1, [1, 2, 3])

Out[164]:

[2, 3, 4]

Exercice 14¶

In [165]:

def liste_carree(liste : list) -> list:
    return applique(lambda x: x**2, liste)

In [167]:

liste_carree([1, 2, 3])

Out[167]:

[1, 4, 9]

Exercice 15¶

In [10]:

def miroir_quad(liste : list) -> list:
    # pour le faire naïvement en Python
    # on fait une concaténation de liste
    if liste:
        return miroir_quad(liste[1:]) + [ liste[0] ]
    else:
        return []

def miroir_lin(liste : list) -> list:
    return [liste[-i] for i in range(1, len(liste) + 1)]

In [11]:

miroir_quad([1, 2, 3])

Out[11]:

[3, 2, 1]

In [12]:

%timeit miroir_quad(list(range(1000)))

3.13 ms ± 93.8 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

In [13]:

miroir_lin([1, 2, 3])

Out[13]:

[3, 2, 1]

In [14]:

%timeit miroir_lin(list(range(1000)))

77.2 µs ± 7.47 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

Exercice 16¶

In [186]:

def insertion_dans_liste_triee(entiers : list, x : int) -> list:
    i = 0
    while i < len(entiers) and entiers[i] < x:
        i += 1
    return entiers[:i] + [x] + entiers[i:]

In [187]:

insertion_dans_liste_triee([1, 2, 5, 6], 4)

Out[187]:

[1, 2, 4, 5, 6]

In [190]:

def tri_insertion(entiers : list) -> list:
    assert all([isinstance(i, int) for _ in entiers])
    def trix(e : list, acc : list) -> list:
        if len(e) == 0: return acc
        else: return trix(e[1:], insertion_dans_liste_triee(acc, e[0]))
    return trix(entiers, [])

In [191]:

tri_insertion([5, 2, 6, 1, 4])

Out[191]:

[1, 2, 4, 5, 6]

Exercice 17¶

In [193]:

def ordre_decroissant(x, y):
    return x > y

In [195]:

from types import FunctionType

def insertion_dans_liste_triee2(entiers : list, x : int, ordre : FunctionType) -> list:
    i = 0
    while i < len(entiers) and ordre(entiers[i], x):
        i += 1
    return entiers[:i] + [x] + entiers[i:]

In [196]:

insertion_dans_liste_triee2([6, 5, 2, 1], 4, ordre_decroissant)

Out[196]:

[6, 5, 4, 2, 1]

In [197]:

def tri_insertion2(entiers : list, ordre : FunctionType) -> list:
    assert all([isinstance(i, int) for _ in entiers])
    def trix(e : list, acc : list) -> list:
        if len(e) == 0: return acc
        else: return trix(e[1:], insertion_dans_liste_triee2(acc, e[0], ordre))
    return trix(entiers, [])

In [200]:

tri_insertion([5, 2, 6, 1, 4])
tri_insertion2([5, 2, 6, 1, 4], ordre_decroissant)

Out[200]:

[1, 2, 4, 5, 6]

Out[200]:

[6, 5, 4, 2, 1]

Exponentiation rapide¶

Exercice 18¶

Une approche naïve :

In [3]:

def exp(x : int, n : int) -> int:
    res = 1
    for _ in range(n):
        res *= x
    return res

In [4]:

x = 3
for n in range(8):
    print("  {} ** {} = {:>5}".format(x, n, exp(x, n)))

  3 ** 0 =     1
  3 ** 1 =     3
  3 ** 2 =     9
  3 ** 3 =    27
  3 ** 4 =    81
  3 ** 5 =   243
  3 ** 6 =   729
  3 ** 7 =  2187

Exercice 19¶

Une approche maline (optimale, en fait).

In [201]:

def exp2(x : int, n : int) -> int:
    assert n >= 0
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x
    elif n % 2 == 0:
        return exp2(x ** 2, n // 2)
    elif n % 2 == 1:
        return exp2(x ** 2, (n - 1) // 2) * x

In [205]:

x = 3
for n in range(8):
    print("  {} ** {} = {:>5}".format(x, n, exp2(x, n)))

  3 ** 0 =     1
  3 ** 1 =     3
  3 ** 2 =     9
  3 ** 3 =    27
  3 ** 4 =    81
  3 ** 5 =   243
  3 ** 6 =   729
  3 ** 7 =  2187

Exercice 20¶

On ne dispose pas de typage pour faire ça aussi joliment qu'en Caml...

In [6]:

def mult_float(x : float, y : float) -> float:
    return x * y

monoide_flottants = {
    'mult': mult_float,   # (*.) en Caml
    'neutre': 1.
}

In [15]:

import numpy as np

def mult_ndarray(A : np.array, B : np.array) -> np.array:
    return np.dot(A, B)

# Pas possible d'avoir un neutre pour une taille quelconque !
monoide_nparray = lambda n, m: {
    'mult': mult_ndarray,
    'neutre': np.eye(n, m)
}

In [16]:

mult_ndarray([[1, 1], [1, 1]], [[1, 2], [3, 4]])

Out[16]:

array([[4, 6],
       [4, 6]])

Manuellement ce n'est pas trop dur :

In [31]:

def mult_mat(A : list, B : list) -> list:
    n, m = len(A), len(A[0])  # A est (n, m)
    m2, p = len(B), len(B[0]) # B est (m2, p)
    assert m == m2
    C = [[0 for _ in range(p)] for _ in range(n)]  # C est (n, p)
    for i in range(n):
        for j in range(p):
            for k in range(m):
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
    return C

# Pas possible d'avoir un neutre pour une taille quelconque !
monoide_mat = lambda n, m: {
    'mult': mult_mat,
    'neutre': [[int(i==j) for j in range(m)] for i in range(n)]  # I est (n, m)
}

In [32]:

mult_mat([[1, 1], [1, 1]], [[1, 2], [3, 4]])

Out[32]:

[[4, 6], [4, 6]]

Exercice 21¶

In [33]:

def exp_rapide(monoide : dict, x, n : int):
    mult = monoide['mult']
    assert n >= 0
    if n == 0:
        return monoide['neutre']
    elif n == 1:
        return x
    elif n % 2 == 0:
        return exp_rapide(monoide, mult(x, x), n // 2)
    elif n % 2 == 1:
        return mult(exp_rapide(monoide, mult(x, x), (n - 1) // 2), x)

Exercice 22¶

In [34]:

def exp_rapide_float(x : float, n : int) -> float:
    return exp_rapide(monoide_flottants, x, n)

In [35]:

exp_rapide_float(2.0, 8)

Out[35]:

256.0

In [36]:

exp_rapide_float(0.2, 8)

Out[36]:

2.560000000000002e-06

Et pour les matrices, un petit piège à cause des tailles :

In [37]:

def exp_rapide_mat(A : list, k : int) -> float:
    n, m = len(A), len(A[0])
    mono = monoide_mat(n, m)
    return exp_rapide(mono, A, k)

In [38]:

for k in range(5):
    exp_rapide_mat([[1, 1], [1, 1]], k)

Out[38]:

[[1, 0], [0, 1]]

Out[38]:

[[1, 1], [1, 1]]

Out[38]:

[[2, 2], [2, 2]]

Out[38]:

[[4, 4], [4, 4]]

Out[38]:

[[8, 8], [8, 8]]

In [42]:

for k in range(5):  # nilpotente
    exp_rapide_mat([[0, 1, 2], [0, 0, 1], [0, 0, 0]], k)

Out[42]:

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Out[42]:

[[0, 1, 2], [0, 0, 1], [0, 0, 0]]

Out[42]:

[[0, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]

Out[42]:

[[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]

Out[42]:

[[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]

Exercice 23¶

In [48]:

from operator import mul

def exp_rapide_2(x, n : int):
    def mul_par_x(y):
        return x * y
    return itere(mul_par_x, n)(x)

In [49]:

exp_rapide_2(2.0, 8)

Out[49]:

512.0

Formule du calcul propositionnel¶

Spoiler alert : en Python, c'est chaud.

ATTENTION Il faut un peut d'habitude et d'idées pour réussir à faire tout ça aussi efficacement (enfin presque) qu'en OCaml.

On va faire des choses non typées, avec des dictionnaires, pour bidouiller.

Exercice 24¶

(not p ^ ((q ^ not p) v (r v q))) s'écrit en Caml (Conj(Not(V("p")),Disj(Conj(V("q"),Not(V("p"))),Disj(V("r"),V("q"))))).

On va imbriquer des dictionnaires, les types, V, Not, Conj et Disj seront des clés, et les valeurs seront des formules ou couples de formules. Mais on va cacher ça et l'utilisateur verra exactement la même chose qu'en Caml !

In [63]:

V = lambda x: {'V': x}
Not = lambda x: {'Not': x}
Disj = lambda x, y: {'Disj': (x, y)}
Conj = lambda x, y: {'Conj': (x, y)}

p = V('p')
r = V('r')
q = V('q')
not_p = Not(p)

f = Conj(Not(p), Disj(Conj(q, not_p), Disj(r, q)))
f

Out[63]:

{'Conj': ({'Not': {'V': 'p'}},
  {'Disj': ({'Conj': ({'V': 'q'}, {'Not': {'V': 'p'}})},
    {'Disj': ({'V': 'r'}, {'V': 'q'})})})}

In [59]:

(Conj(Not(V("p")),Disj(Conj(V("q"),Not(V("p"))),Disj(V("r"),V("q")))))

Out[59]:

{'Conj': ({'Not': {'V': 'p'}},
  {'Disj': ({'Conj': ({'V': 'q'}, {'Not': {'V': 'p'}})},
    {'Disj': ({'V': 'r'}, {'V': 'q'})})})}

Exercice 25¶

Ensuite on fait une filtration "à la main" sur les clés du dictionnaire (de niveau 1, on ne récurse pas quand on teste 'V' in formule).

In [79]:

def taille(formule : dict) -> str:
    if 'V' in formule:
        return 0
    elif 'Not' in formule:
        return 1 + taille(formule['Not'])
    elif 'Conj' in formule:
        x, y = formule['Conj']
        return 1 + taille(x) + taille(y)
    elif 'Disj' in formule:
        x, y = formule['Disj']
        return 1 + taille(x) + taille(y)

In [69]:

taille(f)

Out[69]:

Exercice 26¶

In [109]:

def formule_to_string(formule : dict) -> str:
    if 'V' in formule:
        return formule['V']
    elif 'Not' in formule:
        return "~" + formule_to_string(formule['Not'])
    elif 'Conj' in formule:
        x, y = formule['Conj']
        return "(" + formule_to_string(x) + " ^ " + formule_to_string(y) + ")"
    elif 'Disj' in formule:
        x, y = formule['Disj']
        return "(" + formule_to_string(x) + " V " + formule_to_string(y) + ")"

In [110]:

def affiche(formule):
    print(formule_to_string(formule))

In [111]:

affiche(f)

(~p ^ ((q ^ ~p) V (r V q)))

Et voilà. Pas tellement plus dur hein !

Exercice 27¶

Les valeurs des variables seront données comme un dictionnaire associant nom de variable à valeurs booléennes. Et comme on veut frimer, on prend un defaultdict.

In [115]:

from collections import defaultdict

d = defaultdict(lambda: False, {'p': True, 'q': False})
d['p']  # -> True car présent et True
d['q']  # -> False car présent et False
d['x']  # -> False car absent

Out[115]:

True

Out[115]:

False

Out[115]:

False

In [113]:

valeurs_1 = defaultdict(lambda: False, {'p': True})

In [114]:

valeurs_2 = defaultdict(lambda: False, {'r': True})

In [89]:

def eval(valeurs : dict, formule : dict) -> bool:
    if 'V' in formule:
        return valeurs[formule['V']]
    elif 'Not' in formule:
        return not eval(valeurs, formule['Not'])
    elif 'Conj' in formule:
        x, y = formule['Conj']
        return eval(valeurs, x) and eval(valeurs, y)
    elif 'Disj' in formule:
        x, y = formule['Disj']
        return eval(valeurs, x) or eval(valeurs, y)

In [90]:

eval(valeurs_1, f)

Out[90]:

False

In [91]:

eval(valeurs_2, f)

Out[91]:

True

Exercice 28¶

In [93]:

def extrait_variables_x(formule : dict) -> list:
    if 'V' in formule:
        return [formule['V']]
    elif 'Not' in formule:
        return extrait_variables_x(formule['Not'])
    elif 'Conj' in formule:
        x, y = formule['Conj']
        return extrait_variables_x(x) + extrait_variables_x(y)
    elif 'Disj' in formule:
        x, y = formule['Disj']
        return extrait_variables_x(x) + extrait_variables_x(y)

# on enlève les doublons
def extrait_variables(formule : dict) -> list:
    return list(set(extrait_variables_x(formule)))

In [94]:

extrait_variables(f)

Out[94]:

['p', 'r', 'q']

On trouve facilement les $n$ variables d'une formule.

Ensuite, un itertools.product permet de générer les $2^n$ valuations.

In [98]:

from itertools import product

def toutes_valeurs(variables):
    for valeurs in product([False, True], repeat=len(variables)):
        yield defaultdict(lambda: False, {k:v for k,v in zip(variables, valeurs)})

In [103]:

list(toutes_valeurs(extrait_variables(f)))

Out[103]:

[defaultdict(<function __main__.toutes_valeurs.<locals>.<lambda>>,
             {'p': False, 'q': False, 'r': False}),
 defaultdict(<function __main__.toutes_valeurs.<locals>.<lambda>>,
             {'p': False, 'q': True, 'r': False}),
 defaultdict(<function __main__.toutes_valeurs.<locals>.<lambda>>,
             {'p': False, 'q': False, 'r': True}),
 defaultdict(<function __main__.toutes_valeurs.<locals>.<lambda>>,
             {'p': False, 'q': True, 'r': True}),
 defaultdict(<function __main__.toutes_valeurs.<locals>.<lambda>>,
             {'p': True, 'q': False, 'r': False}),
 defaultdict(<function __main__.toutes_valeurs.<locals>.<lambda>>,
             {'p': True, 'q': True, 'r': False}),
 defaultdict(<function __main__.toutes_valeurs.<locals>.<lambda>>,
             {'p': True, 'q': False, 'r': True}),
 defaultdict(<function __main__.toutes_valeurs.<locals>.<lambda>>,
             {'p': True, 'q': True, 'r': True})]

In [106]:

def str_of_bool(x : bool) -> str:
    # return str(int(x))
    return '1' if x else '0'

In [116]:

def table_verite(formule : dict) -> None:
    variables = extrait_variables(formule)
    # D'abord la formule
    for k in variables:
        print(k, end=' ')
    print('| ', end='')
    affiche(f)
    # Puis toutes ces valeurs possibles
    for valeurs in toutes_valeurs(variables):
        for k in variables:
            print(str_of_bool(valeurs[k]), end=' ')
        print('| ', end='')
        print(str_of_bool(eval(valeurs, formule)))

In [117]:

table_verite(f)

p r q | (~p ^ ((q ^ ~p) V (r V q)))
0 0 0 | 0
0 0 1 | 1
0 1 0 | 1
0 1 1 | 1
1 0 0 | 0
1 0 1 | 0
1 1 0 | 0
1 1 1 | 0

Note : ce code est encore plus concis que celui donné dans la solution en Caml.

On peut vérifier, par exemple sur Wolfram|Alpha que l'on obtient bien le bon résultat...

Conclusion¶

Comme vous le voyez, on arrive à répondre aux mêmes questions dans les deux langages, et il n'y a pas de grosses différences en pratique dans la mise en oeuvre.

Là où Caml excelle pour les types définis, le filtrage et la récursion, Python gagne en simplicité sur l'affichage, sa librairie standard et les dictionnaires et ensembles...