Sys.command "ocaml -version";;
print_endline Sys.ocaml_version;;
The OCaml toplevel, version 4.04.2
- : int = 0
4.04.2
- : unit = ()
let print f =
let r = Printf.printf f in
flush_all();
r
;;
val print : ('a, out_channel, unit) format -> 'a = <fun>
La question de programmation pour ce texte était donnée en page 6 :
Cet exercice consiste à observer le comportement des nombres en virgule flottante de la
machine.
Toutes les variables utilisées seront de type double ou float selon le langage choisi.
On écrit un programme qui évalue $$S = \sum_{i=0}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{\rho}\right)^i$$
où $\rho$ est une puissance de $2$ suffisamment grande, par exemple $\rho = 2^{20}$.
Si on calcule naïvement $S_n = \sum_{i=0}^{n} (1 - \frac{1}{\rho})^i$, en ajoutant les termes un par un dans l'ordre des puissances croissantes, on remarque quand $n$ est suffisamment grand, $S_{n+1} = S_n \oplus (1 - \frac{1}{\rho})^{n+1}$
lorsqu’on calcule en double (ou float).
En évaluant $S$ sous la forme $$S = \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{K-1} \left(1 - \frac{1}{\rho}\right)^{jK + k}$$ ce phénomène se produit pour des rangs plus grands que précedemment, l'approximation de $S$ calculée est donc meilleure. On pourra essayer plusieurs valeurs de $K$ ($1,10,100,1000,10000$) et comparer. $K = 1$ correspond au calcul naïf de $S$ ci-dessus. Optionnellement, le programme pourra également calculer une borne sur l’erreur com- mise sur $S$.
On est libre de choisir l'approche, mais ici il n'y a pas tellement de choix, on va utiliser des float de OCaml.
Rien à faire ici, on va travailler avec des float de OCaml classiques.
Première méthode de calcul. On remarque qu'on est déjà malin, on n'utilise aucune exponentiation mais simplement un accumulateur terme qui vaut $(1-1/\rho)^j$ pour les valeurs successives de $j$, et qu'on met à jour par une simple multiplication.
let premiercalcul (rho : float) (n : int) =
let somme = ref 0. in
let unmoinsunsurrho = 1. -. (1. /. rho) in
let terme = ref 1. in
for _ = 0 to n do (* terme = (1-1/rho)^j pour j = _ *)
somme := !somme +. !terme; (* somme = sum_k=0^j terme_k *)
terme := !terme *. unmoinsunsurrho; (* conserve l'invariant de boucle *)
done;
!somme
;;
val premiercalcul : float -> int -> float = <fun>
Voyons un exemple :
let rho = 2. ** 20.;;
val rho : float = 1048576.
1. -. 1. /. rho;;
- : float = 0.999999046325683594
Cette valeur est proche de $1$, mais strictement plus petite que $1$, et donc $(1-1/\rho)^i \to 0$ géométriquement vite, ainsi $S_n$ converge bien vers $S$ pour $n \to \infty$.
for n = 0 to 10 do
print "\nS_%i \t= %g" n (premiercalcul rho n);
done;
S_10000 = 1.04847e+06 S_100000 = 1.04847e+06 S_0 = 1 S_1 = 2 S_2 = 3 S_3 = 3.99999 S_4 = 4.99999 S_5 = 5.99999 S_6 = 6.99998 S_7 = 7.99997 S_8 = 8.99997
- : unit = ()
for n = 1000 to 1010 do
print "\nS_%i \t= %g" n (premiercalcul rho n);
done;
S_1009 = 1009.51 S_1010 = 1010.51 S_1000 = 1000.52 S_1001 = 1001.52 S_1002 = 1002.52 S_1003 = 1003.52 S_1004 = 1004.52 S_1005 = 1005.52 S_1006 = 1006.52 S_1007 = 1007.52 S_1008 = 1008.52
- : unit = ()
Deuxième méthode de calcul :
let deuxiemecalcul (rho : float) (k : int) (n : int) =
let somme = ref 0. in
let unmoinsunsurrho = 1. -. (1. /. rho) in
let terme = ref 1. in
for _ = 0 to n do
for _ = 0 to k-1 do
somme := !somme +. !terme;
terme := !terme *. unmoinsunsurrho;
done;
terme := !terme *. unmoinsunsurrho;
done;
!somme
;;
val deuxiemecalcul : float -> int -> int -> float = <fun>
Voyons le même exemple :
let valeurs_k = [|1; 10; 100; 1000; 10000|] in
for i = 0 to (Array.length valeurs_k) - 1 do
let k = valeurs_k.(i) in
print "\n\nFor K = %i ..." k;
for n = 0 to 10 do
print "\nS_%i \t= %g" n (deuxiemecalcul rho k n);
done;
done;
S_9 = 95379.3 S_10 = 104426 For K = 1 ... S_0 = 1 S_1 = 2 S_2 = 2.99999 S_3 = 3.99999 S_4 = 4.99998 S_5 = 5.99997 S_6 = 6.99996 S_7 = 7.99995 S_8 = 8.99993 S_9 = 9.99991 S_10 = 10.9999 For K = 10 ... S_0 = 9.99996 S_1 = 19.9998 S_2 = 29.9996 S_3 = 39.9992 S_4 = 49.9987 S_5 = 59.9982 S_6 = 69.9975 S_7 = 79.9967 S_8 = 89.9958 S_9 = 99.9949 S_10 = 109.994 For K = 100 ... S_0 = 99.9953 S_1 = 199.981 S_2 = 299.957 S_3 = 399.923 S_4 = 499.88 S_5 = 599.827 S_6 = 699.765 S_7 = 799.693 S_8 = 899.611 S_9 = 999.52 S_10 = 1099.42 For K = 1000 ... S_0 = 999.524 S_1 = 1998.09 S_2 = 2995.71 S_3 = 3992.38 S_4 = 4988.09 S_5 = 5982.86 S_6 = 6976.67 S_7 = 7969.54 S_8 = 8961.46 S_9 = 9952.43 S_10 = 10942.5 For K = 10000 ... S_0 = 9952.47 S_1 = 19810.5 S_2 = 29574.9 S_3 = 39246.6 S_4 = 48826.6 S_5 = 58315.6 S_6 = 67714.5 S_7 = 77024.2
- : unit = ()
S_8 = 86245.5
Avec de grandes valeurs de $n$, on semble converger vers la limite $S$, d'autant plus vite que $K$ est grand.
let valeurs_n = [|100; 1000; 10000; 100000|] in
let valeurs_k = [|1; 10; 100; 1000; 10000|] in
for i = 0 to (Array.length valeurs_k) - 1 do
let k = valeurs_k.(i) in
print "\n\nFor K = %i ..." k;
for j = 0 to (Array.length valeurs_n) - 1 do
let n = valeurs_n.(j) in
print "\nS_%i \t= %g" n (deuxiemecalcul rho k n);
done;
done;
S_10000 = 1.04847e+06 S_100000 = 1.04847e+06 For K = 1 ... S_100 = 100.99 S_1000 = 1000.05 S_10000 = 9906.23 S_100000 = 91042.7 For K = 10 ... S_100 = 1009.47 S_1000 = 9957.64 S_10000 = 94942.6 S_100000 = 619357 For K = 100 ... S_100 = 10051 S_1000 = 95425.8 S_10000 = 641990 S_100000 = 1.03813e+06 For K = 1000 ... S_100 = 96283.8 S_1000 = 644662 S_10000 = 1.04745e+06 S_100000 = 1.04753e+06 For K = 10000 ... S_100 = 648345 S_1000 = 1.0484e+06
- : unit = ()
Ces calculs coûtent un espace constant en mémoire.
(ou $\log n$ si on considère que stocker des entiers bornés par $n$ coûtent un espace $\log n$)
Ces calculs coûtent un temps linéaire en $n$.
Voilà pour la question obligatoire de programmation.
Bien-sûr, ce petit notebook ne se prétend pas être une solution optimale, ni exhaustive.
Vous auriez pu choisir de modéliser le problème avec une autre approche, mais je ne vois pas ce qu'on aurait pu faire différement.
C'est tout pour aujourd'hui les amis, allez voir ici pour d'autres corrections, et que la force soit avec vous !