Лекция 3.1. Дифракционные решетки¶

Уравнение дифракционной решетки¶

Дифракционные решетки - оптические компоненты, материальные и/или геометрические параметры которых периодически изменяются в одном или двух измерениях, при этом, масштаб периода может варьироваться от величин, меньших длин волн излучения, взимодействующего с решеткой, до десятков длин волн. Периодичность дифракционных решеток приводит возникновению так называемых дифракционных порядков - световых лучей в дальней зоне излучения, распространяющихся в определенных дискретных направлениях относительно падающего на решетку луча/светового пучка.

Если на одномерную дифракционную решетку падает плоская монохроматическая электромагнтитная волна под некоторым углом $\theta_{inc}$, то период решетки $\Lambda$, длина волны излучения $\lambda$, угол падения, и углы дифракции дифракционных порядков $\theta_m$ - набора плоских волн, распространяющихся от решетки, связаны уравнением решетки: \begin{equation} m\lambda = \Lambda(\sin\theta_{inc} + \sin\theta_{m}),\;m\in\mathbb{Z} \end{equation} Значения $m=1,2,\dots$ соответствуют первому, второму и так далее порядкам дифракции, а $m$ называется дифракционным порядком. Положение положительных и отрицательных порядков дифракции проиллюстрировано ниже. Из уравнения видно, что, чем меньше период решетки, тем больше существует лучей распространяющих ненулевых дифракционных порядков. Здесь предполагается, что падающий, дифрагированные лучи, и нормаль к плоскости решетки лежать в одной плоскости, перпендикулярной штрихам решетки. Такая конфигурация иногда называется коллинеарной дифракцией.

Иллюстрация дифракции плоской волны на решетке

В случае дифракции на одномерной решетке, когда падающий луч не лежит в плоскости, перпендикулярной штрихам решетки, говорят о конической дифракции (посколько в этом случае можно показать, что дифрагированные лучи лежат не в одной плоскости, а на конической поверхности).

Если говорить о дифракции плоской волны и рассматривать дифракционные порядки как вторичные плоские волны, распространяющиеся от решетки, то уравнение решетки в терминах проекций волновых векторов на плоскость решетки запишется как \begin{equation} m\boldsymbol{K} = \boldsymbol{k}_{inc} + \boldsymbol{k}_{m} \end{equation} где $\boldsymbol{K}=(2\pi/\Lambda)\hat{\boldsymbol{e}}_x$ - вектор обратной решетки. Это уравнение уже справедливо и для случая коллинеарной, и для случая конической дифракции. Уравнение решетки легко получить, если учесть, что периодичность структуры задает периодичность всей электромагнитной задачи, поэтому в однородных полупространствах над и под решеткой поле представляется в форме разложения по плоским волнам. Теорема Блоха утверждает, что все решения волнового уравнения представимы в виде произведения блоховской экспоненты на периодическую функцию. При дифракции на решетке блоховский волновой вектор будет соответствовать волновому вектору падающей на решетку плоской волны.

Специальным случаем, часто встречающимся в приложениях, является конфигурация, когда направление распространяющегося обратно луча ненулевого порядка совпадает с направлением падающего луча. Такой случай называется конфигурацией Литрова, и для него, учитывая $\theta_m=\theta_{inc}$ \begin{equation} m\lambda = 2\Lambda\sin\theta_{inc} \end{equation}

Основные параметры решеток¶

Основной задачей решетки как спектрального приора является пространственное разеделение различных спектральных компонент падающего излучения. Дисперсия решетки является мерой этого разделения: лучи с длинами волн в диапазоне от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$ имеют разброс углов $\Delta\theta_m$ в спектре $m$-го порядка при фиксированном угле падения. Угловой дисперсией называется изменение угла дифракции при единичном изменении длины волны \begin{equation*} D = \frac{d\theta_m}{d\lambda} = \frac{m}{\Lambda\cos\theta_m} = \frac{\sin\theta_{inc}+\sin\theta_m}{\lambda\cos\theta_m} \end{equation*}

В частном случае конфигурации Литрова имеем $D = 2\tan\theta_m/\lambda$. Из этой формулы можно получить, что при увеличении угла дифракции от $10^{\circ}$ до $63^{\circ}$ угловая дисперсия возрастает на порядок. Получив требуемое значение угла дифракции, тем не менее, остается вопрос в каком порядке дифракции необходимо работать, то есть, выбирать период решетки малым или большим. Решетки с малым периодом позволяют работать в более широком спектральном диапазоне, чем решетки с большим периодом в указанных условиях. Рабочий спектральный диапазон определяется условием перекрытия соседних дифракционных порядков: \begin{equation*} m(\lambda + \Delta\lambda) = (m+1)\lambda \Rightarrow F_{\lambda} = \Delta\lambda = \frac{\lambda}{m} \end{equation*} Отсюда видно, почему в приложениях чаще всего втречаются решетки, работающие на первых дифракционных порядках.

Линейной дисперсией решетки называется произведение угловой дисперсии на эффективную фокусную длину оптической системы $f'(\beta_m)D$. Часто используется обратная линейная дисперсия, измеряемая в нм/мм, являющаяся мерой соответствия сдвига по спектру сдвигу положения соответствующего луча в оптической системе.

Для характеризации принципиальной возможности разделить две длины волны с помощью решетки вводится параметр разрешающей способности \begin{equation*} R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = mN = \frac{N\Lambda(\sin\theta_{inc}+\sin\theta_m)}{\lambda} < \frac{2d}{\lambda} \end{equation*}

где $\Delta\lambda$ - минимальное спектральное расстояние между разрешимыми длинами волн. Втоое равенство получается в результате применения критерия Рэлея, а $N$ - общее число штрихов в решетке.

Дифракционная эффективность¶

Кроме направления дифрагированных лучей важно также контролировать, какая доля энергии падающего излучения перенаправляется в рабочие порядки дифракции. Эту долю определяет дифракционная эффективность. Если использовать приближение, в котором все лучи представляются в виде плоских волн и определение амплитуд s- и p-поляризованных волн, данное в первой части, а плоскость решетки считать совпадающей с плоскостью $XY$ декартовой системы координат, дифракционная эффективность будет равна отношению $z$-проеций модулей векторов Пойнтинга соответствующих полн и для двух поляризаций в случае коллинеарной дифракции запишется как \begin{equation*} b = \frac{|a_m|^2\Re e\{k_{mz}^{dif}/\eta_{dif}\}}{|a_{0}|^2\Re e\{k_{0z}^{inc}/\eta_{inc}\}} \end{equation*}

Вообще, дифракционная эффективность сложным образом зависит всех параметров решетки и падающего излучения, и в строгом виде вычисляется только с помощью численного решения уравнений Максвелла. Тем не менее, есть простые правила и случаи, позволяющие ее максимизировать без трудоемких расчетов. Наиболее широко распространенным примером является так называемое условие блеска: если профиль решетки представляет собой пилообразную функцию, так что нормаль к длинной грани пилы наклонена под углом $\theta_B$ к нормали к плоскости решетки, условие блеска имеет вид \begin{equation*} m\lambda = 2\Lambda\sin\theta_B \end{equation*}

и представляет собой ничто иное, как условие того, что направление заданного дифрагированного луча $m$-порядка совпадает с направление френелевского отражения падающего луча относительно длинной грани профиля решетки. Максимальная эффективность получается при выполнении условия Литрова $\theta_{inc}=\theta_m=\theta_B$, то есть, когда грани решетки рассматриваются как микрозеркала. При фиксированном угле блеска длину волны, на которой выполняется условие Литрова с блеском, называют длиной волны блеска: $\lambda_B = 2\Lambda\sin\theta_B/m$.

Построение Эвальда¶

Анализ ряда дифракционных эффектов на решетках удобно производить с помощью так называемого построения Эвальда в пространстве волновых векторов, где существует обратная решетка. В качестве простого примера рассмотрим плоскую одномерную решетку в конфигурации коллинеарной дифракции, граничущую с двумя однородными изотропными полупространствами с показателями преломления $n_{1,2}$. В этом случае обратная решетка одномерная. В k-пространстве множество концов волновых векторов плоских волн, распространяющихся в каждом из полупространств, лежит на сфере соответствующего радиуса. Тогда направления распространения дифракционных порядков находятся путём пересечения нормали, отложенной от конца проекции волнового вектора дифракционного порядка, и сферы в соответствующем полупространстве.

Пример построения Эвальда для дифракции на одномерной решетке

Литература¶

С. Palmer, Diffraction grating handbook, 8-th edition, Newport (2020)
All About Diffraction Gratings, https://www.edmundoptics.co.uk
О.С. Литвинов, К.Б. Павлов, В.С. Горелик. [Волны и оптика. Гл. 5.5 - Дифракционная решётка](http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom4/ch5/texthtml/ch5_5.htm
RP Photonics Encyclopedia. Diffraction gratings.