Лекция 3.3. Дифракционные решетки. Резонансные свойства¶

Резонансы и полюса матрицы рассеяния¶

Во вводной части было показано, что моды фотонных структур можно изучать не только путем решения задачи на собственные значения для волнового уравнения, но и путем расчета полюсов матрицы рассеяния. Матрица рассеяния дает единый способ описания слоя, позволяя получить и дискретный и непрерывный спектр. Пусть на некоторую оптическую структуру падают волны, задаваемые вектором амплитуд $\boldsymbol{a}_{inc}$, а рассеянное поле задается вектором амплитуд $\boldsymbol{a}_{sca}$. Запишем связь между ними через обратную матрицу рассеяния как $S^{-1}\boldsymbol{a}_{sca} = \boldsymbol{a}_{inc}$. При нулевой правой части решениями этого уравнения будут являться собственные решения $\boldsymbol{a}_{eig}$ уравнения Гельмгольца без источников, то есть, собственные числа будут определяться полюсами матрицы рассеяния, а собственные вектора - вычетами в этих полюсах.

Полюса могут быть найдены одним из численных методов, рассмотренных в общем блоке. Если изучать резонансы в дифракционных решетках, можно использвать промежутоные результаты Фурье-модального метода, или же приближенно описать резонансы через интерференцию Блоховских мод. Рассмотрим ниже эти подходы.

Моды решетки¶

Расчет мод решетки в рамках ФММ¶

В рамках Фурье-модального метода в явном виде были получены Т-матрицы границ раздела слоя фотонного кристалла с однородными средами: \begin{equation} \left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}^{-}\\ \boldsymbol{b}^{+} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} T_{11}^{(1)} & T_{12}^{(1)} \\ T_{21}^{(1)} & T_{22}^{(1)} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \mathcal{E}\boldsymbol{c}^{-} \\ \boldsymbol{c}^{+} \end{array}\right) \end{equation}

\begin{equation} \left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}^{+} \\ \boldsymbol{a}^{-} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} T_{11}^{(2)} & T_{12}^{(2)} \\ T_{21}^{(2)} & T_{22}^{(2)} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \mathcal{E}\boldsymbol{c}^{+}\\ \boldsymbol{c}^{-} \end{array}\right) \end{equation}

Из этих уравнений можно получить матрицы отражения для модальных коэффициентов на границах слоя: \begin{equation} \boldsymbol{b}^{+} = T_{21}^{(1)} \mathcal{E}\boldsymbol{c}^{-} + T_{22}^{(1)} \boldsymbol{c}^{+} \Rightarrow \boldsymbol{c}^{+} = \left(T_{22}^{(1)}\right)^{-1} \boldsymbol{b}^{+} - \left(T_{22}^{(1)}\right)^{-1} T_{21}^{(1)} \mathcal{E}\boldsymbol{c}^{-} \Rightarrow R_c^{(1)} = - \left(T_{22}^{(1)}\right)^{-1} T_{21}^{(1)} \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{a}^{-} = T_{21}^{(2)} \mathcal{E}\boldsymbol{c}^{+} + T_{22}^{(2)} \boldsymbol{c}^{-} \Rightarrow \boldsymbol{c}^{-} = \left(T_{22}^{(2)}\right)^{-1} \boldsymbol{a}^{-} - \left(T_{22}^{(2)}\right)^{-1} T_{21}^{(2)} \mathcal{E}\boldsymbol{c}^{+} \Rightarrow R_c^{(2)} = - \left(T_{22}^{(2)}\right)^{-1} T_{21}^{(2)} \end{equation}

При осутствии падающего поля получаем условие на существование собственного решения: \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} \boldsymbol{c}^{+} = R_c^{(1)} \mathcal{E}\boldsymbol{c}^{-} \\ \boldsymbol{c}^{-} = R_c^{(2)} \mathcal{E}\boldsymbol{c}^{+} \end{array} \right. \Rightarrow \det \left( \mathbb{I} - R_c^{(1)} \mathcal{E} R_c^{(2)} \mathcal{E} \right) = 0 \end{equation} Решение этого уравнения даёт частоты собственных мод решетки.

Резонансы как интерференция блоховских мод¶

Модальное представление также позволяет получить простое приближение и физически проинтерпретировать высокодобротные резонансы в диэлектрических решетках. Рассмотрим симметричную структуру, для которой $R_c^{(1)} = R_c^{(2)}$. Пусть период и контраст решетки таковы, что в ней существует небольшое число распространяющихся блоховских мод, для которых $\beta_m^2 > 0$, $1\leq m\leq N_m$. Пренебрежем всеми затухающими модами и рассмотрим более подробно отражение мод на границах решетки.

В одномодовом приближении, когда $N_m=1$, равенство нулю детерминанта приводит к условию \begin{equation} 1-r_{11}^{2}\exp\left(2i\beta_{1}h\right)=0\Rightarrow\beta_{1}h+\arg r_{11}=\pi l \end{equation} что показывает, что в данном приближении решетка ведет себя точно также, как и плоский однородный диэлектрический слой. Амплитуда уходящей нулевой гармоники \begin{equation} a_1^+ = t_{1} c_1^+ \exp(i\beta_1 h) \end{equation} и $|t_{1}|\neq 0$ для любого блоховского вектора.

В двумодовом приближении, когда $N_m=2$ возникают ситуации, не наблюдающиеся для однородного слоя. Во-первых, в Г-точке первая мода является симметричной, а вторая - антисимметричной. Это значит, что интеграл перекрытия внешней плоской волны, распространяющейся нормально к решетке, равен нулю, а, следовательно, $r_{12}=r_{21}=0$ а также $r_{22}=1$ и $t_2 = 0$. Состояние с возбужденной второй модой, обладающее бесконечной добротностью в Г-точке, называется связанным состоянием в континууме, защищенным симметрией. Во-вторых, для $k_B\neq0$ двумодовое приближение даёт четыре уравнения на амплитуды мод, которые можно переписать в той же форме, что и уравнения для резонатора Фабри-Перо: \begin{equation} 1-\left(r^{(12)}\right)^{2}\exp\left(2i\beta_{2}h\right)=0 \end{equation} где \begin{equation} r^{(12)}=\dfrac{r_{22}+\alpha r_{11}r_{21}r_{12}\exp\left(2i\beta_{1}h\right)}{1-\alpha r_{21}r_{12}\exp\left[i\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)h\right]}, \; \; \alpha=\dfrac{1}{1-r_{11}^{2}\exp\left(2i\beta_{1}h\right)} \end{equation} Аналогично, амплитуду уходящей плоской волны можно выразить через эффективный коэффициент пропускания: \begin{equation} b^{t} = t_{1}a_{1}^{+} \exp\left(i\beta_{1}h\right) + t_{2}a_{2}^{+}\exp\left(i\beta_{2}h\right) = t^{(12)}a_{2}^{+}\exp\left(i\beta_{2}h\right) \end{equation}

\begin{equation} t^{(12)}=t_{2}+\alpha t_{1}r_{21}\exp\left(i\beta_{1}h\right)\left[r^{(12)}\exp\left(i\beta_{2}h\right)+r_{11}\exp\left(i\beta_{1}h\right)\right] \end{equation}

который уже может полностью обнулится для некоторого значения блоховского вектора. Данную ситуацию можно интерпретировать как деструктивную интерференцию полей мод в пространстве, окружающем решетку. В точке, где обнуляется эффекивный коэффициент пропускания, добротность этого состояния также равна бесконечности, а состояние называется случайныи или интерференционным связанным состоянием в континууме, или ССК Фридриха-Винтгена.

Связь полюсного разложения и метода связанных волн¶

Рассмотрим модели описания резонансного поведения волноводных решеток при дифракции монохроматической плоской волны, падающей на решетку под разными углами. В рамках подхода, который описывает резонансные свойства волноводных решеток через полюса мероморфных функций проекции волнового вектора в плоскости решетки, основными параметрами для построения кривой коэффициента отражения являтеся внерезонансный коэффициент отражения, который в некотором диапазоне изменения аргумента резонансной функции вблизи резонанса можно считать постоянным, координаты полюса на комплесной плоскости и амплитуда полюса. С другой стороны существует более физически интуитивный подход описания резонансных свойств волноводных решеток через формализм связанных мод. При этом каждая мода описывается постоянной распространения $\beta$, коэффициентом излучения $\alpha$, который характеризует потери энергии моды за счет наличия решетки (в плоском волноводе он равен нулю), и коэффициентом связи этой моды с падающей на решетку плоской волной $\kappa$. Условия возбуждения (сохранение импульса в проекции на плоскость решетки) описываются с помощью оптогеометрического параметра \begin{equation} k_x = k_x^{inc} \pm K_g = k_0 n_c \sin\theta_{inc} \pm K_g \end{equation} где $k_0=2\pi/\lambda$, и знак $\pm$ соответствует связи падающего излучения с модой, которая распространяется в том же направлении, что и падающая волна, либо в противоположном.

Ценность описания резонансного поведения с помощью формализма связанных мод заключается в том, что он не только дает физически интуитивное описания возникновения резонанса, но и позволяет решать обратную задачу проектирования резонансных устройств на интуитивном уровне. Проблемой этого подхода является то, что параметры $\alpha$, $\beta$ и $\kappa$ невозможно измерить напрямую. Рассмотрим, как можно получить эти параметры анализируя зависимость коэффициента отражения от проекции волнового вектора $r(k_x)$.

Схема возбуждения решеточной моды, описывающая резонансное отражение

Необходимое условие возбуждение моды при коллинеарном падении плоской волны с помощью "$-1$"-го дифракционного порядка в k-пространстве записывается как \begin{equation} \beta = -n_m k_0 = k_x^{inc} - K_g \end{equation} Обозначим показатели преломления подложки, волновода и покрытия как $n_s$, $n_g$ и $n_c$, так что $n_g>n_s>n_c$, $n_g\equiv n_m$. В отражение вносят вклад следующие компоненты. Во-первых, это френелевское отражение, которое обозначим символом $r_0$. В-вторых, это вклад $r_g$, обусловленный связанной модой, которая переизлучается за счет присутствия решетки. Запишем зависиомость $r(k_x)$ с помощью вклада полюсного слагаемого \begin{equation} r(k_x) = r_0 + \frac{a_p}{k_x - k_p} \end{equation} Переменная $k_x$ зависит от параметров задачи $\lambda$ и $\Lambda$, а также от угла падения $\theta_{inc}$, так что экспериментально и с помощью моделирования можно напряму получать $r(k_x)$ как функцию действительного переменного путем изменения угла падения.

Амплитуда волноводной моды $C_g(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению, означающему то, что скорость изменения амплитуды моды обусловлена возбуждением внешним полем и излучением за счет решетки: \begin{equation} \frac{\partial C}{\partial x} = \kappa q(x) \exp[i(k_x-\beta)x] - \alpha C_g \end{equation} где $q(x)=1$ - профиль поля бескончной плоской волны, падающей на бесконечную решетку. Разность $k_x-\beta$ показывает расстройку от идеального синхронизма возбуждения моды. Стационарное решение этого уравнения в пределе условия синхронизма \begin{equation} C\left(x\right)=c\left(x\right)e^{-\alpha x}\Rightarrow\dfrac{dc}{dx}=\kappa e^{\alpha x+i\left(k_x-\beta\right)x}\Rightarrow C\left(x\right)=\frac{-i\kappa}{k_x-\beta-i\alpha} \end{equation} Полученная амплитуда моды должна быть линейно связана с решеточным вкладом в коэффициент отражения \begin{equation} r_g(k_x) = \eta C = \frac{-i\eta\kappa}{k_x-(\beta+i\alpha)} \end{equation} Физический смысл коэффиента $\eta$ состоит в том, что он определяет дифракционные потери моды в покрытие. Сравнивая полученное выражение с полюсным разложением, имеем \begin{split} a_p = -i\eta\kappa \\ k_p = \beta+i\alpha \end{split}

Рассмотрим графическую интерпретацию полученных соотношений на комплексной плоскости коэффициента отражения. При изменении параметра $k_x$ от $-\infty$ до $+\infty$ коэффициент отражения описывает окружность на комплесной плоскости. Это следует из того, что легко показать, что \begin{equation} \left( \Re e[r_g] + \frac{\Im m[a_p]}{2\alpha} \right)^2 + \left( \Im e[r_g] - \frac{\Re m[a_p]}{2\alpha} \right)^2 = \left( \frac{|a_p|}{2\alpha} \right)^2 \end{equation} Центр этой окружности - точка $z_0 = ia_p/2\alpha$, а радиус равен $\rho = a_p|/2\alpha$. Положение точки на окружности определяется аргументом \begin{equation} \mathrm{Arg} [r_g(k_x) - z_0] = \varphi_p - \pi/2 - 2\arctan\left(\frac{k_x-\beta}{\alpha}\right) \end{equation} Вне резонанса коэффициент отржения $r_g$ становится равным нулю, поэтому окружность пересекает 0.

Комплексный коэффициент отражения с учетом решеточного вклада

Полный коэффициенто тражения складывается из отражения Фабри-Перо и отражения, обусловленного волноводной решеточной модой, поэтому окружность полного коэффициента отражения смещается на $r_0$ в точку \begin{equation} z_c = r_0 + ia_p/2\alpha \end{equation} Если параметры решетки подобраны так, что модуль коэффиента отражения в резонансе равен 1, то окружность $r(k_x)$ касается единичной окружности в точке $r_{max}$. При этом, очевидно, точки максимального $r_{max}$ и минимального $r_{min}$ коэффицента отражения, а также центр $z_c$ лежат на прямой, проходящей через ноль комплексной плоскости. Условие резонансного возбуждения моды $k_x=\beta$ дает выражение для коэффициента отражения в этой точке \begin{equation*} r(k_x=\beta) = r_{beta} = r_0 + \frac{ia_p}{\alpha} \end{equation*} Отсюда видно, что $r_{\beta}$, $r_0$ и $z_c$ лежать на одной прямой. Тогда \begin{equation*} z_c = \frac{1}{2}(r_0 + r_{\beta}) = \frac{1}{2}(r_{max} + r_{min}) \Rightarrow r_{\beta} = r_{max} + r_{min} - r_0 \end{equation*} то есть, $r_{\beta}$ оказывается выражен через измеримые или легко рассчитываемые величины.

Используя полученные соотношения, можно показать, что модуль коэффицента отражения \begin{equation*} |r(k_x)|^2 = \frac{|r_0|^2(k_x-\beta)^2 + |r_\beta|^2\alpha^2 + 2\alpha(k_x-\beta)\zeta}{(k_x-\beta)^2 + \alpha^2} \end{equation*} где $\zeta = \sqrt{(|r_{max}|^2-|r_0|^2)/(|r_0|^2-|r_{min}|^2)}$. Из условия $d(|r(k_x)|^2)/dk_x = 0$ можно найти проекции волнового вектора, соответствующие максимуму и минимуму отражения, окуда получаются явные выражения для коэффиента дифракционных потерь $\alpha$ и константы распространения моды $\beta$: \begin{equation*} \begin{array}{l} k_{x,max}-\beta = \alpha/\zeta \\ k_{x,min}-\beta = \alpha\zeta \end{array} \Rightarrow \alpha = \zeta \frac{k_{x,max}-k_{x,min}}{1+\zeta^2} \end{equation*}

\begin{equation*} \beta = \frac{k_{x,max}+k_{x,min}}{2} + \frac{k_{x,max}-k_{x,min}}{2} \frac{\zeta^2-1}{\zeta^2+1} \end{equation*}

Литература¶

A. V. Tishchenko, Phenomenological representation of deep and high contrast lamellar gratings by means of the modal method, Opt Quant Electron 37, 309–330 (2005)
P. Lalanne, J. P. Hugonin, and P. Chavel, Optical Properties of Deep Lamellar Gratings: A Coupled Bloch-Mode Insight, J. Lightwave Technol. 24, 2442- (2006)
A. Ovcharenko, C. Blanchard, J. P. Hugonin, and C. Sauvar, Bound states in the continuum in symmetric and asymmetric photonic crystal slabs, Phys. Rev. B 101, 155303 (2020)
G. Quaranta, G. Basset, O. J. F. Martin, B. Gallinet, Recent Advances in Resonant Waveguide Gratings Laser & Photonics Reviews 12, 1800017 (2018)
D. Pietroy, A. V. Tishchenko, M. Flury, and O. Parriaux, Bridging pole and coupled wave formalisms for grating waveguide resonance analysis and design synthesis, Opt. Express 15, 9831-9842 (2007)
D. Rosenblatt, A. Sharon and A. A. Friesem, Resonant grating waveguide structures, in IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. 33, no. 11, pp. 2038-2059, Nov. 1997