Лицензия MIT
© Алексей Александрович Щербаков, 2024
Анализ одночастичного рассеяния во многих случаях удобно проводить с помощью разложений по векторным сферическим волнам, введенным в лекции 1.1. В заданной сферической системе координат с центром, лежащим внутри рассеивающего объёма, например, совпадающим с в центром рассеивающей сферы в случае рассеяния Ми, внешнее поле, которое может представлять собой плоскую волну или гауссов пучок, раскладывается по исключительно регулярным функциям волновым функциям, посколько поле конечно в начале координат: \begin{equation}\tag{1} \boldsymbol{E}^{ext}(k\boldsymbol{r}) = \sum_{m,n} \left[ c^{ext,h}_{mn} \boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k\boldsymbol{r}) + c^{ext,e}_{mn} \boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k\boldsymbol{r}) \right] \end{equation} Рассеянное поле представляется в форме разложения по сингулярным в нуле волнам, определяющимся через сферические функции Ганкеля первого рода, и имеет вид расходящихся сферических волн на больших расстояниях от рассеивателя: \begin{equation}\tag{2} \boldsymbol{E}^{sca}(k\boldsymbol{r}) = \sum_{m,n} \left[ a^{h}_{mn} \boldsymbol{M}^{(3)}_{mn}(k\boldsymbol{r}) + a^{e}_{mn} \boldsymbol{N}^{(3)}_{mn}(k\boldsymbol{r}) \right] \end{equation} Тогда Т-матрица Уотермана, по определеню, - это матрица связывающая векторы амплитуд $\boldsymbol{c}^{inc} = \{ c^{ext,h,e}_{mn} \}$ и $\boldsymbol{a} = \{ a^{h,e}_{mn} \}$ \begin{equation}\tag{3} \boldsymbol{a} = T \boldsymbol{c}^{ext} \end{equation}
Т-матрицу можно в явном виде выразить через матрицу рассеяния. Для этого необходимо заметить, во-первых, что матрица рассеяния связывает вектор амплитуд "приходящих" волн, выраженных через функции Ганкеля второго рода $h^{(2)}(z)$, соответствующих разложению поля \begin{equation}\tag{4} \boldsymbol{E}^{inc}(k\boldsymbol{r}) = \sum_{m,n} \left[ c^{inc,h}_{mn} \boldsymbol{M}^{(2)}_{mn}(k\boldsymbol{r}) + c^{inc,e}_{mn} \boldsymbol{N}^{(2)}_{mn}(k\boldsymbol{r}) \right] \end{equation} так что $\boldsymbol{a} = S\boldsymbol{c}^{inc}$. Далее, учитывая соотношение между сферическими функциями $2j(z) = h^{(1)}(z) + h^{(2)}(z)$ и линейность векторных сферических гармоник по входящим в них сферическим функциям, получаем $$ S = \mathbb{I} + 2T $$ Условие унитарности матрицы рассеяния для частиц без поглощения $SS^{\dagger} = \mathbb{I}$ при водит к соответствующей формуле на T-матрицу: $T + T^{\dagger} + 2TT^{\dagger} = 0$.
Т-матрица Уотермана может быть аналитически усреднена по ориентациям рассеивающей частицы, так что усредненные сечения экстинкции и рассеяния запишутся как $$ \langle C_{ext} \rangle -\frac{2\pi}{k_m^2} \Re e \sum_{mn} (T^{11}_{mn,mn} + T^{22}_{mn,mn}) $$ $$ \langle C_{sca} \rangle \frac{2\pi}{k_m^2} \Re e \sum_{mn} \sum_{\alpha,\beta=1,2} |T^{\alpha\beta}_{mn,mn}|^2 $$
Условие для связи полей внутри и вне рассеивающей частицы можно получить с помощью векторной теоремы Грина: \begin{equation}\tag{5} \intop_V dV \left[ \boldsymbol{a}\cdot(\nabla\times\nabla\times\boldsymbol{b}) - \boldsymbol{b}\cdot(\nabla\times\nabla\times\boldsymbol{a}) \right] = \intop_{\partial V} dS \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \left[ \boldsymbol{b}\times(\nabla\times\boldsymbol{a}) - \boldsymbol{a}\times(\nabla\times\boldsymbol{c}) \right] \end{equation} где $\hat{\boldsymbol{n}}$ - нормаль к поверхности $\partial V$, ограничивающей объём $V$. Применм уравнение (5) ко внешней по отношению к рассеивающей частице области $V_{ext}$, представляющей собой сферу достаточно большого радиуса с центром внутри рассеивателя, $V\in V_{ext}\in \mathbb{R}^3$, и подставим $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{b}=\mathcal{G}_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}')\boldsymbol{c}$, где $\boldsymbol{c}$ - некоторый постоянный вектор. Используя уравнение Гельмгольца, нетрудно получить \begin{equation}\tag{6} \begin{cases} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}')\cdot\boldsymbol{c}, & \boldsymbol{r}'\in V_{ext} \\ 0, & \boldsymbol{r}'\in V \end{cases} = \left( -\intop_{\partial V_{ext}} + \intop_{\partial V} \right) dS \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \left[ (\nabla\times\boldsymbol{E})\times(\mathcal{G}_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}')\boldsymbol{c}) - \boldsymbol{E}\times(\nabla\times\mathcal{G}_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}')\boldsymbol{c}) \right] \end{equation} Рассеянное поле убывает при удалении от рассеивателя, поэтому, устремляя размер области $V_{ext}$ к бесконечности, можно видеть, что первый интеграл по поверхности этой области соответствует внешнему полюб тогда как второй - рассеянному, так что первая строка в уравнении (6) представляет собой запись принципа суперпозиции для полного поля во внешней области $\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}^{ext} + \boldsymbol{E}^{sca}$, где \begin{equation}\tag{7} \boldsymbol{E}^{sca}(\boldsymbol{r}') = \intop_{\partial V} dS \left[ i\omega\mu_0\mathcal{G}_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}')\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{H})_+ + (\nabla\times\mathcal{G}_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}'))\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{E})_+ \right],\;\boldsymbol{r}'\in V_{ext} \end{equation} Здесь была принята во внимание произвольность постоянного вектора $\boldsymbol{c}$, а также использован закон Фарадея для выражения циркуляции электрического поля через магнитное поле. Индекс "+" указывает на то, что тангенциальная компонента поля берётся на внешней части поверхности рассеивающей частицы.
Аналогично, вторая строка уравнения (6) даёт выражение для внешнего поля внутри рассеивающей частицы: \begin{equation}\tag{8} \boldsymbol{E}^{ext}(\boldsymbol{r}') = - \intop_{\partial V} dS \left[ i\omega\mu_0\mathcal{G}_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}')\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{H})_+ + (\nabla\times\mathcal{G}_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}'))\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{E})_+ \right],\;\boldsymbol{r}'\in V \end{equation} Это уравнение иногда называют продолженным граничным условием (extended boundary condition), поскольку оно связывает поле на внешней границе рассеивателя с внешним полем внутри рассеивателя. Необходимость использования подобного граничного условия вместо обычных условий на непрерывность тангециальных компонент полей обусловлена тем, что доказать полноту и сходимость разложений поля по векторным волновым функциям оказывается затруднительно в случаях геометрически сложных границ разделов разных сред, определяющих поверхность рассеивателей.
Применим полученные уравнения для расчета Т-матрицы. Идея метода состоит в том, чтобы на основании известного внешнего поля найти тангенциальные компоненты полей на внешней поверхности частицы с помощью уравнения (7), а затем рассчитать коэффициенты разложения рассеянного поля по сферическим волнам с помощью уравнения (8).
Воспользуемся явными разложениями полей и тензорной функции Грина вне области источников по векторным сферическим волнам: \begin{equation}\tag{9} \mathcal{G}_0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}') = ik_m \sum_{m,n} \begin{cases} \boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k_m\boldsymbol{r}) (\boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r}'))^T + \boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k_m\boldsymbol{r}) (\boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r}'))^T & r < r' \\ \boldsymbol{M}^{(3)}_{mn}(k_m\boldsymbol{r}) (\boldsymbol{M}^{(1)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r}'))^T + \boldsymbol{N}^{(3)}_{mn}(k_m\boldsymbol{r}) (\boldsymbol{N}^{(1)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r}'))^T & r > r' \end{cases} \end{equation} Введём радиусы вписанной $r_{in}$ и описанной $r_{out}$ сфер около частицы. Тогда внутри вписанной сферы при $r'<r$ в однородной сферической области пространства для внешнего поля справделиво разложение \begin{equation}\tag{10} \boldsymbol{E}^{ext}(k_p\boldsymbol{r}') = \sum_{m,n} \left[ c^{ext,h}_{mn} \boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k_m\boldsymbol{r}') + c^{ext,e}_{mn} \boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k_m\boldsymbol{r}') \right],\;r' < r_{in} \end{equation} Подстановка (9) и (10) в уравнение (8) даёт выражения для амплитуд разложения внешнего поля: \begin{equation}\tag{11} c^{ext,h}_{mn} = k_m \intop_{\partial V} dS \left[ \omega\mu_0\boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r})\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{H})_+ - ik_m\boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r})\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{E})_+ \right] \end{equation}
\begin{equation}\tag{12} c^{ext,e}_{mn} = k_m \intop_{\partial V} dS \left[ \omega\mu_0\boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r})\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{H})_+ - ik_m\boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r})\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{E})_+ \right] \end{equation}Здесь также была использована ортогональность векторных волновых функций и формулы преобразования $\boldsymbol{M}$ в $\boldsymbol{N}$ и обратно с помощью ротора.
Аналогично для $r'>r_{out}$ подстановка разложения рассеянного поля \begin{equation}\tag{13} \boldsymbol{E}^{sca}(k_p\boldsymbol{r}') = \sum_{m,n} \left[ a^{h}_{mn} \boldsymbol{M}^{(3)}_{mn}(k_p\boldsymbol{r}') + a^{e}_{mn} \boldsymbol{N}^{(3)}_{mn}(k_p\boldsymbol{r}') \right],\;r' > r_{out} \end{equation} даёт амплитуды \begin{equation}\tag{14} a^{h}_{mn} = -k_m \intop_{\partial V} dS \left[ \omega\mu_0\boldsymbol{M}^{(1)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r})\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{H})_+ - ik_m\boldsymbol{N}^{(1)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r})\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{E})_+ \right] \end{equation}
\begin{equation}\tag{15} a^{e}_{mn} = -k_m \intop_{\partial V} dS \left[ \omega\mu_0\boldsymbol{N}^{(1)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r})\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{H})_+ - ik_m\boldsymbol{M}^{(1)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r})\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{E})_+ \right] \end{equation}Можно показать, что на поверхности $\partial V$ следующие разложения являются полными: \begin{equation}\tag{16} \hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}') = \sum_{mn} \left[ b_{mn}^{h} \hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k_p\boldsymbol{r}') + b_{mn}^{e} \hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k_p\boldsymbol{r}') \right],\;\boldsymbol{r}'\in\partial V \end{equation}
\begin{equation}\tag{17} \hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r}') = \frac{1}{i\omega\mu_0} \sum_{mn} \left[ b_{mn}^{h} \hat{\boldsymbol{n}}\times\nabla'\times\boldsymbol{M}^{(1)}_{mn}(k_p\boldsymbol{r}') + b_{mn}^{e} \hat{\boldsymbol{n}}\times\nabla'\times\boldsymbol{N}^{(1)}_{mn}(k_p\boldsymbol{r}') \right],\;\boldsymbol{r}'\in\partial V \end{equation}Подставляя эти разложения в (11), (12) и (14), (15), и используя непрерывность тангенциальных компонент поля на поверхности $\partial V$, можно получить требуемую связь коэффициентов внешнего и рассеянного полей.
Из (11), (12), (16) и (17) находим, \begin{equation}\tag{18} \left(\!\! \begin{array}{c} \boldsymbol{c}^{ext,h} \\ \boldsymbol{c}^{ext,e} \end{array} \!\!\right) = Q \left(\!\! \begin{array}{c} \boldsymbol{b}^h \\ \boldsymbol{b}^e \end{array} \!\!\right) = \left(\!\! \begin{array}{cc} Q^{hh} & Q^{he} \\ Q^{eh} & Q^{ee} \end{array} \!\!\right) \left(\!\! \begin{array}{c} \boldsymbol{b}^h \\ \boldsymbol{b}^e \end{array} \!\!\right) \end{equation} Матричные элементы в явном виде \begin{equation}\tag{19} \begin{array}{l} Q^{hh}_{mn,m'n'} = -ik_pk_m C^{31}_{mn,m'n'} - ik_m^2C^{13}_{mn,m'n'} \\ Q^{he}_{mn,m'n'} = -ik_pk_m C^{11}_{mn,m'n'} - ik_m^2C^{33}_{mn,m'n'} \\ Q^{eh}_{mn,m'n'} = -ik_pk_m C^{33}_{mn,m'n'} - ik_m^2C^{11}_{mn,m'n'} \\ Q^{ee}_{mn,m'n'} = -ik_pk_m C^{13}_{mn,m'n'} - ik_m^2C^{31}_{mn,m'n'} \end{array} \end{equation} где \begin{equation}\tag{20} \left(\!\! \begin{array}{c} C^{11}_{mn,m'n'} \\ C^{12}_{mn,m'n'} \\ C^{21}_{mn,m'n'} \\ C^{22}_{mn,m'n'} \end{array} \!\! \right) = \oint_{\partial V} dS \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{M}^{(1)}_{m'n'}(k_p\boldsymbol{r}) \times \boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r}) \\ \boldsymbol{M}^{(1)}_{m'n'}(k_p\boldsymbol{r}) \times \boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r}) \\ \boldsymbol{N}^{(1)}_{m'n'}(k_p\boldsymbol{r}) \times \boldsymbol{M}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r}) \\ \boldsymbol{N}^{(1)}_{m'n'}(k_p\boldsymbol{r}) \times \boldsymbol{N}^{(3)}_{-mn}(k_m\boldsymbol{r}) \end{array} \right] \end{equation} Аналогично, подстановка (16), (17) в (14), (15) даёт связь между амплитудами рассеянного поля и амлитудами разложения тангенциального поля на поверхности частицы: \begin{equation}\tag{21} \left(\!\! \begin{array}{c} \boldsymbol{a}^h \\ \boldsymbol{a}^e \end{array} \!\!\right) = \mathrm{Rg} Q \left(\!\! \begin{array}{c} \boldsymbol{b}^h \\ \boldsymbol{b}^e \end{array} \!\!\right) \end{equation} Матрица $\mathrm{Rg} Q$ отличается от матрицы $Q$ в уравнении (18) тем, что выражения, соответствующие формулам (20), содержат исключительно регулярные векторные волновые функции, обозначаемые верхним индексом "$(1)$".
Таким образом, связь между амплитудами внешнего и рассеянного поля в явном виде запишется как \begin{equation}\tag{22} \left(\!\! \begin{array}{c} \boldsymbol{a}^h \\ \boldsymbol{a}^e \end{array} \!\!\right) = -(\mathrm{Rg} Q) Q^{-1} \left(\!\! \begin{array}{c} \boldsymbol{c}^{ext,h} \\ \boldsymbol{c}^{ext,e} \end{array} \!\!\right)\;\Rightarrow\;T = -(\mathrm{Rg} Q) Q^{-1} \end{equation}