Betrachtet wird die stationäre Verteilung des Kapitalstocks bei Technologie-Schocks (AR(1)-Modell für $\theta_t$, siehe Gleichung (6.2)).
Gegebene Parameter: mit α = 0.3, β = 0.9 und $σ_ε^2$ = 0.01
In [1]:
import numpy as np
from numpy import pi
import matplotlib.pyplot as plt
%load_ext ipydex.displaytools
Normalverteilung einer Zufallsgröße $x \sim \mathcal N(\mu, \sigma)$: $$ f_{normal}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) $$
Lognormalverteilung Verteilung einer Zufallsgröße $y$ mit $\operatorname{ln}(y) \sim \mathcal N(\mu, \sigma)$: $$ f_{lognorm}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x }\,\exp\Big( -\frac{(\ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big) \quad, x > 0 $$
Siehe auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Normalverteilung
In [12]:
def norm_dist(x, mu, sigma):
return 1/np.sqrt(2*pi*sigma**2) * np.exp(-(x-mu)**2/(2*sigma**2))
def lognorm_dist(x, mu, sigma):
return 1/(np.sqrt(2*pi)*sigma*x) * np.exp(-(np.log(x)-mu)**2/(2*sigma**2))
In [33]:
xx = np.linspace(0.1, 0.22, 10000)
sigma = np.sqrt(.01)
alpha = 0.3
beta = 0.9
# epsilon wird als Mittelwertfrei angenommen
mu_eps = 0
muk = np.log(alpha*beta)/(1-alpha) + mu_eps/(1-alpha) ##:
ff_ln = lognorm_dist(xx, muk, sigma)
muk := -1.8704761714053748
---
In [34]:
# plt.plot(xx, ff1)
plt.plot(xx, ff_ln, "r-", lw=2)
axis = plt.axis()
plt.vlines([0.15405], -5, 30, "r", alpha=0.5)
plt.axis(axis)
maxval = xx[np.argmax(ff_ln)] ##:
maxval := 0.15251725172517253
---
In [46]:
# Zum Vergleich: Normalverteilung mit gleichem Mittelwert und gleichem Maximum.
# Man sieht, dass die rote Kurve leicht schief, d.h. nicht symmetrisch ist
# sigma manuell so angepasst, dass Maxima übereinstimmen
ff_n = norm_dist(xx, maxval, 0.0153)
plt.plot(xx, ff_ln, "r-", lw=2, label="Lognormal-Verteilung")
plt.plot(xx, ff_n, "b-", lw=1., label="Normalverteilung")
plt.legend()
Out[46]:
<matplotlib.legend.Legend at 0x7f9c42f330f0>
Tabelle aus dem Buch Seite 175¶
Lebensnutzen: $\Delta = \frac{1}{2}\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1- \alpha^2}$
In [53]:
def delta(sigma, alpha):
return - 1.0/2* sigma**2/(1- alpha**2)
sigma_values = np.r_[0.1, 0.2, 0.3, 0.4]
delta_values = delta(sigma=sigma_values, alpha=0.3)
In [55]:
sigma_values ##
delta_values ##
array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4])
___
array([-0.00549451, -0.02197802, -0.04945055, -0.08791209])
___