資料を参考にして,次の2重積分を求めよ.(15点) \begin{equation*} \int \int_D \sqrt{2x^2-y^2}dxdy,\hspace{5mm} D:0\leqq y \leqq x \leqq 1 \end{equation*}
行列$\displaystyle A= \left( \begin {array}{ccc} 1&1&3\\ -1&0&1\\ 1&2&1 \end {array} \right) $ の対角化行列を求めて,対角化せよ.(15点)
資料を参考にして,行列$\displaystyle \left[ \begin {array}{cc} 1/\sqrt{2}&a\\ b&-1/\sqrt{2} \end {array} \right] $が直交行列であるとき,$a,b$を求めよ.(15点)
$p$を実数とし,$f(x)=x^3-p\,\, x$とする.
関数$f(x)$が極値をもつための$p$の条件を求めよう.$f(x)$の導関数は, \begin{equation*} f'(x) = \fbox{ ア }\,\, x^{\,\,\fbox{ イ }}-p \end{equation*} である.したがって,$f(x)$が$x=a$で極値をとるならば, \begin{equation*} \fbox{ ア }\,\, a^{\,\,\fbox{ イ }}-p=\fbox{ ウ } \end{equation*} が成り立つ.さらに$x=a$の前後での$f'(x)$の符号の変化を考えることにより, $p$が条件$\fbox{ エ $(p>0)$}$を満たす場合は$f(x)$は必ず極値を持つことがわかる.
関数$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{3}$で極値をとるとする.また,曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$\displaystyle \left(\frac{p}{3}, f\left(\frac{p}{3}\right) \right)$をAとする.
$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{3}$で極値をとることから,$p=\fbox{ オ }$であり,$f(x)$は$x=\fbox{ カキ }$で極大値をとり,$x=\fbox{ ク }$で極小値をとる.
曲線$C$の接線で,点Aを通り傾きが0でないものを$l$とする.$l$の方程式を求めよう.$l$と$C$の接点の$x$座標を$b$とすると,$l$は点$(b, f(b))$における$C$の接線であるから,$l$の方程式は$b$を用いて \begin{equation*} y= \left(\fbox{ ケ }\,\, b^2 - \fbox{ コ }\right)(x-b)+f(b) \end{equation*} と表すことができる.また,$l$は点Aを通るから,方程式 \begin{equation*} \fbox{ サ }\,\, b^3-\fbox{ シ }\,\, b^2+1=0 \end{equation*} を得る.この方程式を解くと, \begin{equation*} b = \fbox{ ス }\,\,, \frac{\fbox{ セソ }}{\fbox{ タ }} \end{equation*} であるが,$l$の傾きが0でないことから,$l$の方程式は \begin{equation*} y = \frac{\fbox{ チツ }}{\fbox{ テ }}\,\, x+\frac{\fbox{ ト }}{\fbox{ ナ }} \end{equation*} である.
点Aを頂点とし,原点を通る放物線を$D$とする.$l$と$D$で囲まれた図形のうち,不等式$x \geqq 0$の表す領域に含まれる部分の面積$S$を求めよう.$D$の方程式は, \begin{equation*} y = \fbox{ ニ }\,\, x^2 -\fbox{ ヌ }\,\, x \end{equation*} であるから,定積分を計算することにより,$\displaystyle S=\frac{\fbox{ ネノ }}{24}$となる.(10点)
(2014年度大学入試センター試験 本試験 数学II・B第2問)
前問3(b)の$C$上の頂点Aの座標を$\displaystyle \left(\frac{p}{4}, f\left(\frac{p}{4}\right) \right)$と変えて問題を解け.ただし数値を変えたので,それほど複雑な数字にはならないが,\fbox{ オ },\fbox{ カキ }等には箱にこだわらず数字がはいる.最後は$\displaystyle S=\frac{11}{27}$ではなく,$\displaystyle S=\frac{352}{243}$になる.(30点)
関数$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{4}$で極値をとるとする.また,曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$\displaystyle \left(\frac{p}{4}, f\left(\frac{p}{4}\right) \right)$をAとする.
$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{4}$で極値をとることから,$p=\fbox{ オ }$であり,$f(x)$は$x=\fbox{ カキ }$で極大値をとり,$x=\fbox{ ク }$で極小値をとる.
曲線$C$の接線で,点Aを通り傾きが0でないものを$l$とする.$l$の方程式を求めよう.$l$と$C$の接点の$x$座標を$b$とすると,$l$は点$(b, f(b))$における$C$の接線であるから,$l$の方程式は$b$を用いて \begin{equation*} y= \left(\fbox{ ケ }\,\, b^2 - \fbox{ コ }\right)(x-b)+f(b) \end{equation*} と表すことができる.また,$l$は点Aを通るから,方程式 \begin{equation*} \fbox{ サ }\,\, b^3-\fbox{ シ }\,\, b^2+1=0 \end{equation*} を得る.この方程式を解くと, \begin{equation*} b = \fbox{ ス }\,\,, \frac{\fbox{ セソ }}{\fbox{ タ }} \end{equation*} であるが,$l$の傾きが0でないことから,$l$の方程式は \begin{equation*} y = \frac{\fbox{ チツ }}{\fbox{ テ }}\,\, x+\frac{\fbox{ ト }}{\fbox{ ナ }} \end{equation*} である.
点Aを頂点とし,原点を通る放物線を$D$とする.$l$と$D$で囲まれた図形のうち,不等式$x \geqq 0$の表す領域に含まれる部分の面積$S$を求めよう.$D$の方程式は, \begin{equation*} y = \fbox{ ニ }\,\, x^2 -\fbox{ ヌ }\,\, x \end{equation*} であるから,定積分を計算することにより,$\displaystyle S=\frac{\fbox{ ネノ }}{24}$となる.(10点)
(2014年度大学入試センター試験 本試験 数学II・B第2問)