以下の問題をpythonで解き,LUNAへ提出せよ.LUNAへはipynbとpdf形式の2種類を提出すること.
(テキストp.131の4-118式の確認)
シグモイド関数 \begin{equation*} \sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} \end{equation*} の増減,極値,凹凸を調べ,曲線$y=\sigma(x)$の概形を描け. シグモイド関数の微分が \begin{equation*} \sigma(x)(1-\sigma(x)) \end{equation*} に一致することを確かめよ.両者を同時にプロットすることでも確かめられる. ただし,曲線は重なるので,どちらかをy軸方向に0.01程度ずらして表示すること.
次の行列$A$の固有値とそれに対する固有ベクトルを求めよ. \begin{equation*} A = \left( \begin{matrix} -2 & -3 & 3\\ 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & -2 \end{matrix} \right) \end{equation*} それぞれの固有値($\lambda_i$),固有空間($x_i$)に対して, $$ A x_i = \lambda_i x_i $$ が成立することを確かめよ.
(2019大学入試センター試験 数学II・B 第2問(1),(2))
$p, q$ を実数とし, 関数$f(x)=x^3 + p x^2 +qx$ は$x=-1$で極値2を取るとする. また,座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$,放物線$y=-kx^2$ を$D$, 放物線$D$上の点$(a, -ka^2)$をAとする. ただし, $k \gt 0, a\gt0$である.
(1) 関数$f(x)$が$x=-1$で極値をとるので, $f'(-1) = \fbox{ ア }$である. これと$f(-1)=2$より, $p=\fbox{ イ }\,, q={ \fbox{ ウエ }}$である. よって$f(x)$は$x= \fbox{ オ }$で極小値$ \fbox{ カキ }$をとる.
(2) 点Aにおける放物線$D$の接線を$l$とする. $D$と$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を $a$と$k$を用いて表そう.
$l$の方程式は \begin{equation*} y = \fbox{ クケ }\,kax + \,ka^{ \fbox{ コ }} ... (1) \end{equation*} と表せる. $l$と$x$軸の交点の$x$座標は $\frac{\fbox{ サ }}{\fbox{ シ }}$であり, $D$と$x$軸および 直線$x=a$で囲まれた図形の面積は $\frac{k}{\fbox{ ス }}a^{\fbox{ セ }}$である. よって,$S=\frac{k}{\fbox{ ソタ }} a^{\fbox{ セ }}$である.
大問3.において,関数$f(x)$が$x=-0.9$で極値2をとるとして問3(a)を解きなさい. 問3(b)は変わらないので,解く必要ありません. 極小値は$−3.66567655334305$ぐらいである. さらに,これらの値を用いて,(x,-2,2)で曲線$C, D$を同時にプロットしなさい.
追加:$k$は適当に,例えば,k=1と定めてください.