解答例¶

1¶

代入して方程式の解を求める典型的な問題です．

一歩づつ，出力しながら変形していくのがコツ．数式処理ソフトはやり方を教えないと動かないよ．

代入:  subs
展開:  expand
方程式の解: solve(eq, a)

sympyでは方程式の解solveに渡す式(eq)=0が成り立つ未知数(a)をとく．eqにはあらかじめ0となるように右辺を移項した式を求めておく必要がある．

In [1]:

from sympy import *
init_session()

IPython console for SymPy 1.6.1 (Python 3.8.3-64-bit) (ground types: gmpy)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()

Documentation can be found at https://docs.sympy.org/1.6.1/

In [2]:

x,a = symbols('x a')

In [3]:

P = x*(x+3)*(2*x-3)

In [4]:

P0 = expand(P.subs({x:a+1}))
P0

Out[4]:

$\displaystyle 2 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a - 4$

In [5]:

P1 = expand(P.subs({x:a}))
P1

Out[5]:

$\displaystyle 2 a^{3} + 3 a^{2} - 9 a$

In [6]:

eq1 = (P0-P1)/2
eq1

Out[6]:

$\displaystyle 3 a^{2} + 6 a - 2$

In [7]:

solve(eq1,a)

Out[7]:

$\displaystyle \left[ -1 + \frac{\sqrt{15}}{3}, \ - \frac{\sqrt{15}}{3} - 1\right]$

2¶

高校の一年生の時にやる平方完成ですが，sympyに限らず数式処理ソフトは苦手なようです．微分して頂点の座標を求めて作って行きます．

In [8]:

from sympy import *
init_session()
x = symbols('x')

f = x**2+3*x-2
eq1 = diff(f,x)
eq1

IPython console for SymPy 1.6.1 (Python 3.8.3-64-bit) (ground types: gmpy)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()

Documentation can be found at https://docs.sympy.org/1.6.1/

Out[8]:

$\displaystyle 2 x + 3$

In [9]:

solve(eq1,x)

Out[9]:

$\displaystyle \left[ - \frac{3}{2}\right]$

In [10]:

f.subs({x:-3/2})

Out[10]:

$\displaystyle -4.25$

In [11]:

solve(f,x)

Out[11]:

$\displaystyle \left[ - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \ - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}\right]$

In [12]:

def l_y(x, x1):
    m = diff(f,x)
    eq = m.subs({x:x1})*(x-x1)+f.subs({x:x1})
    return eq

print(l_y(x,2))

7*x - 6

In [13]:

%matplotlib inline
plot(f,l_y(x,2), (x,-4,4))

Out[13]:

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7fb6ab7ce670>

3¶

頂点を一致させる問題です．1番の問題と本質的には同じなんですが，未知数が二つになったので途端に見通しが悪くなります．

一般の解答例では，紙面の都合上，解の導出を短く表示していますが，解いていく最中では，一つ一つ積み上げていってます．解答例を見ながら，「かっこの中側から打つ」ということの意味を理解して，実践してください．

In [14]:

from sympy import *
#init_session()
init_printing()

まずは二つの曲線の方程式をy1, y2として打ち込みます．変数として宣言しとくことを忘れないように．

In [15]:

x, y,a,b = symbols('x y a b')
y1 = 4*x**2-8*x+5
y2 = -2*(x+a)**2+b

y1の頂点を求めます．微分して傾きがゼロになるxをx0とします．　[0]は配列の中身を取り出すためです．

In [16]:

x0=solve(diff(y1,x),x)[0]
x0

Out[16]:

$\displaystyle 1$

これ(x=x0)をy1に代入して，その値をy0とします．

In [17]:

y0 = y1.subs({x:x0})
y0

Out[17]:

$\displaystyle 1$

x=x0でy2が頂点となるようなa0を求めます．

In [18]:

a0=solve(solve(diff(y2,x),x)[0]-x0,a)[0]
a0

Out[18]:

$\displaystyle -1$

一度にやると上のようですが，これの中身を見て，一つ一つのstepをsympyに教えてやっているのを見盗ってください．

In [19]:

diff(y2,x)

Out[19]:

$\displaystyle - 4 a - 4 x$

In [20]:

solve(diff(y2,x),x)

Out[20]:

$\displaystyle \left[ - a\right]$

In [21]:

solve(diff(y2,x),x)[0]

Out[21]:

$\displaystyle - a$

In [22]:

solve(diff(y2,x),x)[0]-x0

Out[22]:

$\displaystyle - a - 1$

In [23]:

solve(solve(diff(y2,x),x)[0]-x0,a)

Out[23]:

$\displaystyle \left[ -1\right]$

In [24]:

solve(solve(diff(y2,x),x)[0]-x0,a)[0]

Out[24]:

$\displaystyle -1$

出てきた答えをそのまま次のステップの代入にして，次々と操作を加えていく様子が見えますでしょうか？

わからんようになったら，間の結果を変数として取り出して，それを次の式に代入(subs)していくと見やすいです．

In [25]:

b0 =solve((y2-y0).subs({a:a0}).subs({x:x0}),b)[0]
b0

Out[25]:

$\displaystyle 1$

In [26]:

%matplotlib inline
line_1 = y1
line_2 = y2.subs({a:a0}).subs({b:b0})
line_2
plot(line_1, line_2, (x,-1,3))

Out[26]:

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7fb6ab843070>

別解¶

こういった問題では，判別式を使った解法を指導しているというTAさんからの指導(?)があったんで，やって見た．

In [27]:

from sympy import *
init_session()

IPython console for SymPy 1.6.1 (Python 3.8.3-64-bit) (ground types: gmpy)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()

Documentation can be found at https://docs.sympy.org/1.6.1/

In [28]:

x, y,a,b = symbols('x y a b')
y1 = 4*x**2-8*x+5
y2 = -2*(x+a)**2+b

In [29]:

y3 = expand(y1-y2)
y3

Out[29]:

$\displaystyle 2 a^{2} + 4 a x - b + 6 x^{2} - 8 x + 5$

In [30]:

cc=y3.coeff(x,0)
bb=y3.coeff(x,1)
aa=y3.coeff(x,2)
print(aa,bb,cc)

6 4*a - 8 2*a**2 - b + 5

In [31]:

expand(bb**2-4*aa*cc)

Out[31]:

$\displaystyle - 32 a^{2} - 64 a + 24 b - 56$

4¶

頂点を代数式で出す問題で，式変形が必要になる典型的な問題です．factorとかsimplifyとかは試行錯誤が必要です．fractionは分数式での基本となるやり方なんで，idiom的に覚えてください．

代入:   subs
展開:   expand
簡単化: simplify
通分:   together
因数分解:factor
分数:   fraction
分母:   d(enominator)
分子:   n(umerator)

In [32]:

from sympy import *
#init_session()
init_printing()
x, y,a,b = symbols('x y a b')

y = a*x**2-b*x-a+b

In [33]:

y.subs({x:-2})-6

Out[33]:

$\displaystyle 3 a + 3 b - 6$

In [34]:

b0=solve(y.subs({x:-2})-6,b)
b0

Out[34]:

$\displaystyle \left[ 2 - a\right]$

In [35]:

df = diff(y,x)
df

Out[35]:

$\displaystyle 2 a x - b$

In [36]:

s1 = solve(df,x)
s1

Out[36]:

$\displaystyle \left[ \frac{b}{2 a}\right]$

In [37]:

x0 = s1[0].subs({b:b0[0]})
x0

Out[37]:

$\displaystyle \frac{2 - a}{2 a}$

In [38]:

simplify((y.subs({x:x0}).subs({b:b0[0]})))

Out[38]:

$\displaystyle - 2 a + 2 - \frac{\left(a - 2\right)^{2}}{4 a}$

簡単化しなさいというのに反応していない典型的な例です．まぁ，簡単というのは人間とコンピュータで違うのでしょうね．地道にばらして，教えて行きましょう．

In [39]:

eq2 = together((y.subs({x:x0}).subs({b:b0[0]})))
eq2

Out[39]:

$\displaystyle \frac{- 8 a^{2} + 8 a - \left(2 - a\right)^{2}}{4 a}$

In [40]:

n,d = fraction(eq2)

In [41]:

factor(expand(n))

Out[41]:

$\displaystyle - \left(3 a - 2\right)^{2}$

時々sympyとの意見があって，スパッと綺麗にしてくれることがあります．たまにです．嬉しくなりますが．．．

In [42]:

factor(together((y.subs({x:x0}).subs({b:b0[0]}))))

Out[42]:

$\displaystyle - \frac{\left(3 a - 2\right)^{2}}{4 a}$

In [ ]:

Table of Contents

解答例¶

1¶

2¶

3¶

別解¶

4¶