Ein Verband kann nicht nur ordnungstheoretisch definitiert werden, wie wir bereits gesehen haben, sondern auch algebraisch. Dies wird im Folgenden behandelt.
Sei $V_{Pot}=(Pot(\{1,2,3\}),\cap,\cup)$ der algebraisch definierte Potenzmengenverband. Unten wird erklärt, warum dieser algebraisch definierte Verband dem ordnungstheoretischen Verband $(Pot(\{1,2,3\}),\subseteq)$ entspricht.
Absorptionsgesetze: Für alle $a,b\in Pot(\{1,2,3\})$ gilt das Absorptionsgesetz. Sei z.B. $a=\{1,2\},b=\{2,3\}$. Dann gilt $\{1,2\}\cup(\{1,2\}\cap\{2,3\})=\{1,2\}$ und $\{1,2\}\cap(\{1,2\}\cup\{2,3\})=\{1,2\}$
Wir zeigen, dass die Definitionen zu algebraischem und ordnungstheoretischem Verband zum gleichen Ergebnis führen, indem wir in aus jedem algebraischen Verband einen ordnungstheoretischen Verband bilden können und umgekehrt.
Wie sieht das konkret aus am Beispiel $(Pot(M),\subseteq)$ und $(Pot(M),\cup,\cap)$?
Nehmen wir an, $M=\{1,2,3\}$. Wir hatten bereits gezeigt, dass das Infimum $\land$ dem Schnitt $\cap$ und das Supremum $\lor$ der Vereinigung $\cup$ entspricht. Da algebraische Verbände über Infimum und Supremum definiert sind, müssen wir die entsprechenden Operationen nur noch einsetzen.
Andersherum ist es genau so. Nehmen wir $(Pot(M),\cup,\cap)$. Dann gilt: $a\cap b = a$ genau dann, wenn $a\subseteq b$. Zum Beispiel: $\{1,2\}\cap \{1,2,3\}=\{1,2\}$ und $\{1,2\}\subseteq \{1,2,3\}$. Was passiert mit der Operation $\cup$ bzw. $\lor$? Es gilt, folgend aus $a\cap b = a\leftrightarrow a\subseteq b$: $$a \subseteq b\leftrightarrow a\cup b = b$$ z.B. $$\{1,2\}\subseteq \{1,2,3\}\leftrightarrow\{1,2\}\cup \{1,2,3\}=\{1,2,3\}$$
Die Vereinigung ist also schon mit abgedeckt und muss nicht explizit in die ordnungstheoretische Definition überführt werden.