Première Cours Suites Partie 1

Sur la page https://repl.it/@fredericjunier/PremiereSuitesPartie1 vous pourrez aussi tester les codes ci-dessous.

Activité 1 : châteaux de cartes

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a :

  • le nombre de cartes au niveau $n$ vérifie $u_{n}=3n$
  • le nombre total de cartes pour construire $n$ niveaux vérifie $v_{n+1}=u_{n+1} + v_{n}$
In [1]:
def chateau(n):
    u = 0
    v = 0
    for k in range(1, n + 1):
        u = u + 3  #u = k * 3
        v = v + u
    return v
In [2]:
[chateau(n) for n in range(0, 8)]
Out[2]:
[0, 3, 9, 18, 30, 45, 63, 84]

Activité 2 Modèle d’évolution d’une population

On a $u_{0}=27500$ étudiants en Septembre 2016.

En notant $u_{n}$ le nombre d'étudiants en Septembre $2016 + n$, en juin $2016+n+1$, après une perte de $150$ étudiants, on a $u_{n}-150$ étudiants. Puis on a une augmentation de cet effectif, à la rentrée de Septembre, cest-à-dire $1,04(u_{n}-150)=1,04u_{n}-156$ étudiants en Septembre $2016+n+1$.

Pour tout entier $n \geqslant 0$, on a donc : $u_{n+1}=1,04u_{n}-156$.

La capacité maximale de l'établissement est de $33000$. D'après l'algorithme de seuil ci-dessous, à la rentrée de Septembre $2022$, la capacité maximale d'accueil sera dépassée.

In [7]:
def seuil():
    n = 0
    u = 27500
    while u <= 33000:
        n = n + 1
        u = 1.04 * u - 156
    return n

Capacité 2

  • Question 1 a) : $a_{2} \approx 14400$ et $a_{8} \approx 17200$
  • Question 1 b) : Le montant de l'APA en 2013 était de $a_{7} = 16744$
  • Question 2) a) : $a_{10} = a_{9} \times 1,05 = 18070 \times 1,05 = 18973,5$
  • Question 2) b) : feuille de calcul en ligne
n 9 10 11 12 13 14
a(n) 18070 18973.5 19922.175 20918.28375 21964.1979375 23062.407834375

Capacité 3

Soit la suite définie par : $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = -\frac{1}{2}u_n + 2$.

  • Question 1) a) : $u_{1}=-\frac{1}{2}u_0 + 2=0$ et $u_{2}=-\frac{1}{2}0 + 2=2$

  • Question 1) b) : calcul de $u_{n}$ avec une fonction Python

def suiteU_capacite3_question1(n):
    u = 4
    for k in range(n):
        u = -0.5 * u + 2
    return u
In [2]:
def suiteU_capacite3_question1(n):
    u = 4
    for k in range(n):
        u = -0.5 * u + 2
    return u

#calcul de u(14)
print(suiteU_capacite3_question1(14))
1.33349609375

Soit la suite définie par $u_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=u_{n}+n^2+1$.

  • Question 1) a) : $u_{1}=u_0 + 0^{}=0$ et $u_{2}=-\frac{1}{2}\times 0 + 2=2$

  • Question 1) b) : calcul de $u_{n}$ avec une fonction Python

def suiteU_capacite3_question2(n):
    u = 2
    for k in range(n):
        u = u + k ** 2 + 1
    return u
In [3]:
def suiteU_capacite3_question2(n):
    u = 2
    for k in range(n):
        u = u + k ** 2 + 1
    return u

print(suiteU_capacite3_question2(10))
297

Capacité 4

  • Question 1) : soit la suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $v_{n}=\frac{2^{n}+1}{2+(-1)^{n}2^{n+1}}$.

    • $v_{1}=\frac{2^{1}+1}{2+(-1)^{1}2^{1+1}}=-\frac{3}{4}$
    • $v_{2}=\frac{2^{2}+1}{2+(-1)^{2}2^{2+1}}=\frac{5}{10}$
    • $v_{3}=\frac{2^{3}+1}{2+(-1)^{3}2^{3+1}}=-\frac{9}{14}$
  • Question 2) : soit la suite définie par $u_{0}=0$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n}=u_{n-1} + 2n - 1$

    • $u_{1}=u_{0} + 2\times 1 - 1 = 1$
    • $u_{2}=u_{1} + 2\times 2 - 1 = 4$
    • $u_{3}=u_{2} + 2\times 3 - 1 = 9$

Calculs de tous les termes entre $u_{0}$ et $u_{n}$ avec une fonction Python

def suiteU_capacite4(n):
    u = 0
    print(u)
    for k in range(1, n + 1):
        u = u + 2 * k - 1
        print(u)

On peut conjecturer que pour tout entier $n \geqslant 0$, on a $u_{n}=n^2$.

In [4]:
def suiteU_capacite4(n):
    u = 0
    print(u)
    for k in range(1, n + 1):
        u = u + 2 * k - 1
        print(u)

suiteU_capacite4(20)
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
Out[4]:
400

Capacité 5 : manipuler les listes en Python

In [9]:
###Question 1
L1 = [852, 843, 954]
print(L1[1])
#843
print(L1[0])
#852
#print(L[3])
#provoque une erreur

###Question 2
L2 = [k * 2 - 1 for k in range(3)]


###Question 3
from math import sin
L3 = []
for k in range(1, 50):
    if sin(k) >= 0:
        L3.append(k)
#équivalent à 
L32 = [k for k in range(1, 50) if sin(k) >= 0]
print(L3 == L32)
##True

### Question 4
L4 = list(range(2, 5))
L4.pop()
L4.append(14)
L4.pop(1)
L4.pop(1)
L4.append(16)
print(L4)
843
852
True
[2, 16]

Suite de syracuse

In [1]:
def syracuse(u , n):
    """Retourne la liste des premiers termes 
    de la suite de syracuse de premier terme u"""
    L = [u]
    for k in range(n):
        if u % 2 == 0:
            u = u // 2
        else:
            u = 3 * u + 1
        L.append(u)
    return L
In [4]:
syracuse(634 , 40)
Out[4]:
[634,
 317,
 952,
 476,
 238,
 119,
 358,
 179,
 538,
 269,
 808,
 404,
 202,
 101,
 304,
 152,
 76,
 38,
 19,
 58,
 29,
 88,
 44,
 22,
 11,
 34,
 17,
 52,
 26,
 13,
 40,
 20,
 10,
 5,
 16,
 8,
 4,
 2,
 1,
 4,
 2]
In [7]:
for k in range(10, 21):
    print(syracuse(k, 21))
[10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1]
[11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4]
[12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1]
[13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1]
[14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4]
[15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4]
[16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2]
[17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1]
[18, 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4]
[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4]
[20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2]
In [8]:
def tempsVol(u):
    """Retourne le plus petit indice du terme de la suite de syracuse
    de premier terme u, qui est égal à 1"""
    i = 0
    while u != 1:
        if u % 2 == 0:
            u = u // 2
        else:
            u = 3 * u + 1
        i = i + 1
    return i
In [9]:
tempsVol(634)
Out[9]:
38

Capacité 6 : Suite définie par des motifs géométriques ou combinatoires

  • Question 1) : On a $t_{1}=1$ et pour tout entier $n \geqslant 2$, on a $t_{n}=t_{n-1}+n$.
  • Question 2) : On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $t_{n}+t_{n-1}=n^{2}$. On en déduit que $t_{n}+t_{n}-n=n^{2}$ c'est-à-dire $t_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$. Notons que pour tout entier $n \geqslant 1$, $t_{n}=1+2+\ldots +n$ donc $1+2+\ldots +n==\frac{n(n+1)}{2}$
  • Question 3) a) : On a $u_{1}=0$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $u_{n+1}=u_{n}+n$ ou encore pour tout entier $n \geqslant 2$, on a $u_{n}=u_{n-1}+n-1$.

    • Question 3) b) : On peut remarquer que $u_{n}=1+2+\ldots+n-1$. D'après la question précédente, on a, pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_{n}=\frac{(n-1)n}{2}$. On peut aussi noter que $u_{1}=0=t_{1}-1$ puis $u_{2}=u_{1}-1+1=t_{1}$ puis $u_{3}=t_{1}+2=t_{2}$ puis $u_{4}=t_{2}+3=t_{3}$. En terminale, on pourra démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 2$, on a $u_{n}=t_{n-1}=\frac{(n-1)n}{2}$.

    • Question 4) : On peut assimiler le nombre total de poignées de mains échangées dans une assemblée de $n$ personnes qui se saluent toutes deux à deux, par la valeur de $u_{n}$ définie dans la question précédente. En effet, on peut considérer que les personnes arrivent successivement dans la salle et que tout nouvel arrivant salue toutes les personnes déjà présentes.

    On résout donc l'équation $\frac{(n-1)n}{2}=45 \Longleftrightarrow n^{2}-n-90=0 \Longleftrightarrow \begin{cases}n=\frac{1+19}{2}=10 \\ \text{ou }\frac{1-19}{2}=-9<0 \text{ impossible} \end{cases}$.

Algorithmique 2 : Factorielle de n

In [10]:
def factorielle(n):
    u = 1
    for k in range(1, n + 1):
        u = u * k
    return u
In [11]:
[factorielle(n) for n in range(10)]
Out[11]:
[1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880]

Capacité 7 : Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire

  • Question 1) : $v_{1}=20$ et $v_{2}=v_{1}-0,6=19,4$.
  • Question 2) : pour tout entier $n$ tel que $1 \leqslant n \leqslant 23$, on a $v_{n+1}=v_{n}-0,6$.
  • Question 3) : au douzième mois, le montant de la mensualité est de $v_{12}=v_{1}-11 \times 0,6=20-6,6=13,4$ euros. Plus généralement, pour tout entier $n$ tel que $1 \leqslant n \leqslant 24$, on aura $v_{n}=v_{1}-0,6(n-1)=20,6-0,6n$.

Capacité 8 : Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle

  • Question 1) : $C_{1}=820$ euros et $C_{2}=C_{1} \times 1,025=840,5$ euros.
  • Question 2) : Pour tout entier naturel $n$, on a $C_{n+1}=1,025 \times C_{n}$ (formule de récurrence) et $C_{n}=C_{0} \times 1,025^{n}$ (formule explicite)
  • Question 3) : Algorithme de seuil en Python, fonction retournant le plus petit entier $n$ tel que $C_{n}>s$
def seuil(s):
    c = 800
    n = 0
    while c <= s:
        c = 1.025 * c
        n =n + 1
    return n
In [13]:
def seuil(s):
    c = 800
    n = 0
    print(n, c)
    while c <= s:
        c = 1.025 * c
        n =n + 1
        print(n, c)
    return n

print(seuil(1000))
0 800
1 819.9999999999999
2 840.4999999999998
3 861.5124999999997
4 883.0503124999997
5 905.1265703124996
6 927.7547345703119
7 950.9486029345696
8 974.7223180079338
9 999.0903759581321
10 1024.0676353570852
10

Capacité 11 Déterminer une relation pour une suite définie par un motif géométrique

  • Question 1 : pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $a_{n+1}=a_{n}=2$ avec $a_{1}=1$. La suite $\left(a_{n}\right)$ est donc arithmétique de raison $2$ et pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a $a_{n}=a_{1} + (n-1) \times 2=1+2(n-1)=2n-1$.

  • Question 2 : D'après la formule sur la somme des termes consécutifs d'uen suite arithmétique, on a $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \times n= \frac{1+2n-1}{2} \times n = n^{2}$.

  • Question 3 : On résout l'inéquation $\sum_{k=1}^{n}a_{k} \geqslant 1 \Longleftrightarrow n^{2} \geqslant 1000 \Longleftrightarrow n \geqslant \sqrt{1000} \Longleftrightarrow n \geqslant 32$. Le robot doit donc effectuer au moin $32$ trajets en ligne droite (le dernier sera incomplet) et $31$ virage, ce qui pour une distance de $1$ kilomètres soit $10^{5}$ centimètres représente un temps de $\frac{10^{5}}{20} + 31 \times 2 =5062$ secondes.

Capacité 12 Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle, calculer le terme général d’une suite géométrique

  • Question 1 : $u_{0}=60$, $u_{1}=30$ et $u_{2}=15$.
  • Question 2 : Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,5u_{n}$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et donc $u_{n}=0,5^{n}u_{0}=\frac{60}{2^{n}}$. On en déduit que $u_{5}=\frac{60}{2^{5}}=1,875$.
  • Question 3 : Fonction seuil() qui retourne le plus petit entier n à partir duquel $u_{n}<0,25$. Elle retourne $8$ donc au bout de $8$ demi-vies soit $8 \times 3=24$ jours, l’activité radioactive de cet échantillon est strictement inférieure à $0,25$.
In [2]:
def seuil():
    u = 60 
    n = 0
    while u >= 0.25:
        u = u / 2
        n = n + 1
    return n
In [3]:
seuil()
Out[3]:
8

Capacité 13 : Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Pour tout entier naturel $n$, on considère la somme $s_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^{k}}$.

  1. Pour tout entier naturel $n$, on a : $s_{n}=1 \times \frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$. En effet $s_{n}$ est la somme des $n$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $r_{1}=1$ et de raison $\frac{1}{2}$.

  2. On peut conjecturer que lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $s_{n}$ tend vers $2$.

Capacité 14 Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique ou une question de dénombrement

  1. On note $u_{n}$ la surface restante de la feuille après $n$ découpes. Ainsi $u_{0}=400$.

    a. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n + 1}=\frac{8}{9}u_{n}$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $\frac{8}{9}$.

    b. On peut conjecturer que pour $n$ assez grand $u_{n}$ deviendra aussi proche de $0$ que l'on veut.

    c. Fonction seuil :

    def seuil(s):
         n = 0
         u = 400
         while u > s:
             u = 8 * u / 9
             n = n + 1
         return n
    

    seuil(10) retourne la valeur 32.

  2. On note $v_{n}$ le nombre de nouveaux carrés découpés lors de la $n^{ième}$ découpe avec $n \geqslant 1$. Ainsi $v_{1}=1$, $v_{2}=8$.

    a. Pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n + 1}=8v_{n}$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $8$.

    b. On peut conjecturer que pour $n$ assez grand $v_{n}$ deviendra aussi grand que l'on veut.

    c. Fonction somme :

    def somme(n):
         v = 1
         t = v
         for k in range(2, n + 1):
             v = 8 * v
             t = t + v
         return t
    

    somme(10) retourne la valeur 153391689.

    d. D'après une formule du cours : $$t_{n}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{n}=v_{1}\times \frac{1-8^{n}}{1-8}=\frac{8^{n}-1}{7}$$

In [5]:
def seuil(s):
	n = 0
	u = 400
	while u > s:
		u = 8 * u / 9
		n = n + 1
	return n
In [6]:
seuil(10)
Out[6]:
32
In [8]:
def somme(n):
    v = 1
    t = v
    for k in range(2, n + 1):
        v = 8 * v
        t = t + v
    return t
In [9]:
somme(10)
Out[9]:
153391689