Рассмотрим уравнение $$\dot x = \sin(t) (x + x^2)$$ Оно имеет решение с начальным условием $x(0)=0$, которое является постоянным: $x(t)=0$.
Линеаризация уравнения вблизи этого решения:
$$\dot y = y \sin t$$Это уравнение с разделяющимися переменными и оно имеет явное решение
$$y(t)=y_0\exp\int_0^t \sin \tau\, d\tau=y_0\exp(-\cos t+1).$$Сравним решения исходного уравнения и его линеаризации.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline
from scipy.integrate import odeint
def f(x, t):
return np.sin(t) * (x + x ** 2)
T = np.linspace(0, 20, 300)
plt.figure(figsize=(10, 10))
for x0 in np.linspace(-0.05, 0.05, 11):
solution = odeint(f, x0, T)
plt.plot(T, solution, color='C0')
plt.plot(T, np.exp(-np.cos(T) + 1) * x0, color='C1')