Прикладные дифференциальные уравнения

Домашнее задание №1

Илья Щуров

Факультет компьютерных наук, Прикладная математики и информатика, 2021-22 учебный год

Страница курса

Задание выполнил(а): впишите ваше имя

Задание выполняется самостоятельно. Вам запрещено смотреть в чужое решение до сдачи работы или давать своё решения для прочтения кому-либо, а также совершать эквивалентные действия — например, обсуждать решения устно, если в результате такого обсуждения тексты работ могут оказаться настолько сходными, чтобы вызвать подозрения в несамостоятельном решении.

В случае сдачи работы после срока сдачи оценка будет вычисляться как решение дифференциального уравнения $\dot x = -x$ с начальным условием $x(0)=x_0$, где $x_0$ — оценка, которую вы получили бы за работу, если бы сдали её в срок; время измеряется в днях, но течёт непрерывно, округлений нет.

Задача 1

Изучите с помощью компьютерной симуляции, как зависит ошибка метода Эйлера от длины шага $\Delta t = (T-t_0) / N$, где $N$ — количество шагов? Возьмите уравнение с известным решением (например, $\dot x = x$) и для какого-то фиксированного начального условия и фиксированного $T$ найдите точное решение $x(T)$ и его приближение $x_{Euler}(t; N)$ для $N$ шагов. Постройте график $|x(T) - x_{Euler}(t; N)|$ как функции от $N$ при больших $N$. Умножьте ошибку на $N$ и на $N^2$ и постройте графики получающихся функций. Возьмите логарифм ошибки и поделите его на логарифм $N$, постройте график этой функции при больших $N$. Сделайте вывод о скорости уменьшения ошибки в терминах $O$-больших или $\Theta$ от $N$ и $\Delta t$.

In [1]:
# ваше решение здесь

Задача 2

Модифицируйте функцию euler_multidim таким образом, чтобы она обрабатывала случай T < t_0.

In [1]:
# ваше решение здесь

Задача 3

Найдите все положения равновесия в модели Лотки — Вольтерры. Покажите, что существует единственное положение равновесия в области $x>0$, $y>0$. Изучите с помощью компьютерных экспериментов, как ведут себя решения вблизи этого положения равновесия и вдалеке от него. Является ли на ваш взгляд это положение равновесия устойчивым? Объясните, почему. В каких случаях решения похожи на решения уравнения осциллятора (близки к гармоническим колебаниям)? В каких случаях не похожи? Зависит ли период от выбора начального условия? Как вы думаете, как объясняются эти результаты?

In [1]:
# ваше решение здесь