Прикладные дифференциальные уравнения

Домашнее задание №3

Илья Щуров

Факультет компьютерных наук, Прикладная математики и информатика, 2021-22 учебный год

Страница курса

Задание выполнил(а): впишите ваше имя

Задание выполняется самостоятельно. Вам запрещено смотреть в чужое решение до сдачи работы или давать своё решения для прочтения кому-либо, а также совершать эквивалентные действия — например, обсуждать решения устно, если в результате такого обсуждения тексты работ могут оказаться настолько сходными, чтобы вызвать подозрения в несамостоятельном решении.

В случае сдачи работы после срока сдачи оценка будет вычисляться как решение дифференциального уравнения $\dot x = -x$ с начальным условием $x(0)=x_0$, где $x_0$ — оценка, которую вы получили бы за работу, если бы сдали её в срок; время измеряется в днях, но течёт непрерывно, округлений нет.

Задача 1: возвращение Лотки — Вольтерра

Вернёмся к системе Лотки — Вольтерра из первого занятия. У неё есть единственное нетривиальное положение равновесия (когда количество кроликов и лис положительно). Найдите линеаризацию системы вблизи этого положения равновесия. Определите тип особой точки линеаризации. Постройте (с помощью plt.streamplot или найдя несколько фазовых кривых с помощью odeint или ode) на одной картинке фазовый портрет линеаризации и исходной системы. Как теперь вы можете объяснить, что вблизи положения равновесия колебания близки к гармоническим, а далеко от него они перестают быть таковыми?

ваше решение здесь

Задача 2: осциллятор с трением

Добавим в модель осциллятора силу трения. Она будет действовать против скорости движения, а её величина будет пропорциональна скорости (обычное сухое трение скольжения работает не так, зато вязкое трение работает похожим образом — будем считать, что у нас осциллятор в вязкой жидкости). Получится такое уравнение:

$$\ddot x = -x - \mu \dot x,$$

где $\mu$ — коэффициент трения.

Как ведёт себя решение $x(t)$ этого уравнения с одним и тем же начальным условием (например, $x(0)=1$, $\dot x(0)=0$) в зависимости от $\mu$? Поставьте несколько численных экспериментов и постройте графики $x=x(t)$ для различных значений $\mu$: например, можно начать с больших значений и постепенно уменьшать $\mu$, приближая его к нулю. Какие типы динамики осциллятора вы можете выделить?

Объясните увиденное на численном эксперименте с помощью теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Как меняется фазовый портрет при изменении $\mu$? Как меняется тип особой точки в начале координат? Постройте соответствующие фазовые портреты (можно вручную, можно с помощью компьютера).

ваше решение здесь

Задача 3: модель Рамсея

В экономике рассматривают следующую модель экономического роста (Модель Рамсея — Касса — Купманса):

$$\frac{\dot c}{c} = \frac{f'(k) - \rho - \delta}{\theta}, \quad \dot k = f(k) - c - \delta k,$$

здесь $k=k(t)$ — капиталовооружённость экономики в момент времени $t$ (то есть количество капитала на единицу труда — грубо говоря, сколько станков / инструментов / etc. приходится на одного работника), $c=c(t)$ — потребление в момент времени $t$ (также на одного работника), $f(k)$ — функция производства (сколько единиц продукции можно выпустить за единицу времени с помощью капитала $k$), $\delta$ — норма амортизации капитала (какая доля станков выходит из строя за единицу времени), $\rho$ и $\theta$ — некоторые константы, смысл которых я объяснить не берусь.

Второе уравнение выглядит логичным: за единицу времени мы производим $f(k)$ продукции, из неё $c$ потребляется и $\delta k$ выбывает в силу амортизации. Первое уравнение выглядит более загадочным и его объяснить сложнее: оно появляется из решения задачи максимизации полезности потребления (с одной стороны, потребление хочется максимизировать, с другой — если тратить всё произведенное на потребление, то производить дальше будет нечем).

Пусть $\rho=0.01$, $\theta=1$, $f(k)=4 k^{\frac{1}{3}}$, $\delta=0.03$.

Найдите положение равновесия при $c>0$, $k>0$. Найдите матрицу линеаризации системы в положении равновесия. Установите тип особой точки линеаризации. (Всё это нужно сделать аналитически.)

Постройте фазовый портрет (с помощью подходящих функций на компьютере). На фазовом портрете постройте изоклины $\dot c = 0$ и $\dot k = 0$ (то есть линии, на которых векторы векторного поля смотрят горизонтально или вертикально).

Найдите численно какое-нибудь начальное условие, из которого траектория стремится к положению равновесия при $t\to +\infty$ (кроме самого положения равновесия), то есть сепаратрису соответствующей особой точки. Сделать это можно с помощью алгоритма деления отрезка пополам. Постройте эту сепаратрису на фазовом портрете.

ваше решение здесь

In [ ]: