В этом задании мы будем рассматривать уравнение
$$ \tag{1} \dot x = x(a\sin(t) + b - x)$$Оно соответствует логистическому росту населения (с ограниченными ресурсами) с учётом сезонности: количество еды меняется периодически, летом её больше, зимой — меньше. Будем считать $a$ и $b$ фиксированными неотрицательными параметрами. При $a=0$ и $b=1$ получается логистическая модель, которую мы рассматривали ранее.
Пусть $a=1$ и $b=1$. Пусть $\varphi(t; x_0)$ — решение уравнения с начальным условием $x(0)=x_0$, то есть $\varphi(0; x_0)=x_0$ для всех $x_0$. Обозначим через $y(t)$ производную решения $\varphi$ по начальному условию в точке $x_0=0$: $$y(t):=\left.\frac{\partial \varphi(t; x_0)}{\partial x_0}\right|_{x_0=0}.$$
np.odeint
) найти решение $\hat \varphi(t; x_0)$ уравнения (1) с начальным условием $x(0)=x_0$ и вычислитьПусть $b=1$. Рассмотрим решение системы (1) с начальным условием $x(0)=1$. При разных значениях $a$ мы получаем разные системы и значит разные решения, поэтому решение будет зависеть от $a$. Обозначим его через $\varphi(t; a)$. Обозначим через $y(t)$ производную решения $\varphi$ по параметру $a$ в точке $a=0$: $$y(t):=\left.\frac{\partial \varphi(t; a)}{\partial a}\right|_{a=0}.$$