1.¶
Diseñar un programa en el que entrado un numero a retorne una variable booleana True or false si cumple que es:
Números defectivo : la suma de los divisores propios es menor que el número.
La rutina se deberá llamar números_defectivos
Números abundantes: la suma de los divisores es mayor que el número.
La rutina se deberá llamar números_abundantes
Números semiperfectos la suma de todos o algunos de los divisores propios es igual al número.
La rutina se debera llamar numeros_semiperfectos
Números perfectos la suma de todos sus divisores propios, excepto el mismo numero, es igual al número.
La rutina se deberá llamar numeros_perfectos
Números primos el número es divisible unicamente por sí mismo y por 1.
La rutina se deberá llamar numeros_primos
Problema no obligatorio
Retornar los 30 primeros números de cada clase
#Aquí va su código
2.¶
Determine si un número n entero ingresado por el usuario es un palíndromo, (Retorne True en caso afirmativo y False en caso contrario)
#Aquí va su código
3.¶
Una característica útil de las funciones definidas por el usuario es la recursion, la capacidad de una función de llamarse a sí misma. Por ejemplo, considere la siguiente definición del factorial $n!$ de un entero positivo $n$:
$$n! = \begin{cases} 1 & \text{si } n = 1, \\ n \times (n - 1)! & \text{si } n > 1. \end{cases}$$Esta constituye una definición completa del factorial que nos permite calcular el valor de $n!$ para cualquier entero positivo. Podemos emplear esta definición directamente para crear una función en Python para factoriales, así:
def factorial(n):
if n == 1:
return 1
else:
return n * factorial(n-1)
- Los números de Catalan $C_n$ aparecieron previamente en clase. La definición dada allí puede reescribirse como:
Escriba una función en Python, usando recursión, que calcule $C_n$. Utilice su función para calcular e imprimir $C_{50}$.
- Euclides demostró que el máximo común divisor $g(m, n)$ de dos enteros no negativos $m$ y $n$ satisface:
Escriba una función en Python $g(m, n)$ que emplee recursión para calcular el máximo común divisor de $m$ y $n$ usando esta fórmula. Use su función para calcular e imprimir el máximo común divisor de 108 y 192.
#Aquí va su código
4.¶
Un problema conocido de mecánica cuántica involucra una partícula de masa $m$ que encuentra un escalón de potencial unidimensional, como se muestra en la figura:
La partícula con energía cinética inicial $E$ y vector de onda $k_1 = \sqrt{2mE}/\hbar$ entra desde la izquierda y encuentra un salto abrupto en la energía potencial de altura $V$ en la posición $x = 0$. Resolviendo la ecuación de Schrödinger, se puede demostrar que cuando $E > V$ la partícula puede:
- Pasar el escalón, en cuyo caso tendrá una energía cinética menor $E - V$ al otro lado y un vector de onda correspondientemente más pequeño $k_2 = \sqrt{2m(E - V)}/\hbar$
- Ser reflejada, manteniendo toda su energía cinética y vector de onda sin cambios, pero moviéndose en dirección opuesta.
Las probabilidades $T$ y $R$ para transmisión y reflexión están dadas por:
$$T = \frac{4k_1k_2}{(k_1 + k_2)^2}, \quad R = \left(\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\right)^2.$$Consideremos una partícula con masa igual a la del electrón $m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$ y energía $10 \, \text{eV}$ que encuentra un escalón de potencial de altura $9 \, \text{eV}$. Escriba un programa en Python para calcular e imprimir las probabilidades de transmisión y reflexión usando las fórmulas anteriores.
#Aquí va su código
5.¶
La órbita en el espacio de un cuerpo alrededor de otro, como un planeta alrededor del Sol, no necesita ser circular. En general toma la forma de una elipse, con el cuerpo a veces más cerca y a veces más lejos. Si se conocen la distancia $\ell_{1}$ del acercamiento más próximo que hace un planeta al Sol, llamado perihelio, y su velocidad lineal $v_{1}$ en el perihelio, entonces cualquier otra propiedad de la órbita puede calcularse a partir de estos dos datos de la siguiente manera. La segunda ley de Kepler nos dice que la distancia $\ell_{2}$ y velocidad $v_{2}$ del planeta en su punto más distante, o afelio, satisfacen $\ell_{2}v_{2}=\ell_{1}v_{1}$. Al mismo tiempo, la energía total, cinética más gravitacional, de un planeta con velocidad $v$ y distancia $r$ del Sol está dada por $$ E = \tfrac{1}{2}mv^{2} - G\frac{mM}{r}, $$ donde $m$ es la masa del planeta, $M=1.9891\times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ es la masa del Sol, y $G=6.6738\times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ es la constante gravitacional de Newton. Dado que la energía debe conservarse, se llega a que $v_{2}$ es la raíz más pequeña de la ecuación cuadrática $$ v_{2}^{2} - \frac{2GM}{v_{1}\ell_{1}}v_{2} - \left[v_{1}^{2} - \frac{2GM}{\ell_{1}}\right] = 0. $$ Una vez que se tiene $v_{2}$, podemos calcular $\ell_{2}$ usando la relación $\ell_{2}=\ell_{1}v_{1}/v_{2}$.
- Dados los valores de $v_{1}$, $\ell_{1}$, y $\ell_{2}$, otros parámetros de la órbita vienen dados por fórmulas simples que pueden derivarse de las leyes de Kepler y del hecho de que la órbita es una elipse:
Escriba un programa que solicite al usuario ingresar la distancia al Sol y la velocidad en el perihelio, luego calcule e imprima las cantidades $\ell_{2}$, $v_{2}$, $T$, y $e$.
- Pruebe su programa calculando las propiedades de las órbitas de la Tierra (para la cual $\ell_{1}=1.4710\times 10^{11}\,\mathrm{m}$ y $v_{1}=3.0287\times 10^{4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$) y del cometa Halley ($\ell_{1}=8.7830\times 10^{10}\,\mathrm{m}$ y $v_{1}=5.4529\times 10^{4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$). Entre otras cosas, debería encontrar que el período orbital de la Tierra es un año y el del cometa Halley es alrededor de 76 años.
#Aquí va su código
6.¶
Un proyectil es lanzado desde una altura inicial $y_0 = 0$ con una velocidad inicial de $4.0\, \text{m/s}$ a $45^\circ$ respecto a la horizontal. Graficar la trayectoria del proyectil en su plano de movimiento (considerando el eje $x$ paralelo a la horizontal y el origen en la posición inicial del proyectil) desde el punto de lanzamiento hasta el punto donde impacta el suelo (asumiendo un terreno plano). La gráfica debe incluir etiquetas en los ejes y un título. Recuerde que las ecuaciones del movimiento parabólico están dadas por
$$ \text{Posición horizontal:} \quad x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos\theta \cdot t $$$$ \text{Posición vertical:} \quad y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2 = y_0 + v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 $$$$ \text{Velocidad horizontal:} \quad v_x(t) = v_{0x} =v_0 \cos \theta= \text{constante} $$$$ \text{Velocidad vertical:} \quad v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin\theta - gt $$#Aquí va su código
7.¶
Los polinomios de Legendre son de gran importancia en física, especialmente en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. Son fundamentales en la expansión en armónicos esféricos, lo que los hace esenciales en problemas de mecánica cuántica y electromagnetismo. Cada polinomio de Legendre $P_n(x)$ es un polinomio de grado $n$. Este puede ser expresado usando la Fórmula de Rodrigues:
$$ P_n (x)=\frac{1}{n!\ 2^n} \frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n, \ \ n \in \mathbb{Z^{+}}+\{0\} $$- Utilizando la fórmula de Rodrigues halle $P_0(x)$ y $P_1(x)$.
- Con la fórmula de recurrencia
elabore un código que permita calcular $P_n(x)$ para $n\geq2$.
- En una misma gráfica muestre $P_n(x)$ para $1\leq n\leq5$.
#Aquí va su código