Zápočtový úkol 8¶

Implementujte metodu Monte Carlo (druhou verzi ukázanou na cvičení) a jednu z metod založených na Newton-Cortesových vzorcích (například Simpsonovo pravidlo) pro integraci následující funkce tří proměnných:

na intervalu $x \in (0, 1), y \in (0, 1), z \in (0, 1)$.

Pro obě metody odhadněte chybu způsobem ukázaným na cvičení. Porovnejte s přesným výsledkem, který lze určit analyticky nebo s využitím knihovní funkce (nquad()).

Srovnejte rychlosti konvergence obou integračních metod (stačí spočítat hodnoty integrálu pro několik řádově různých $M$ - np.logspace()). Použijte stejný počet kroků (výpočtů funkční hodnoty) v obou metodách, aby srovnání mělo smysl! U metody Monte Carlo je $M$ pokusů (vyhodnocení funce $f$) ekvivalentní výpočtu funkčních hodnot na 3D mřížce o velikosti $M^{1/3} \times M^{1/3} \times M^{1/3}$ pro metodu Newton-Cortesova vzorce.

Vykreslete vývoj chyby do log-log grafu (plt.loglog() nebo plt.xscale('log')). Okomentujte velikost chyb obou metod a jak rychle klesají s rostoucím $M$.

Nápověda:

Rozšíření metod založených na Newton-Cortesových vzorcích do více dimenzí je následující:

• stejně jako v 1D vyčíslujeme funkci na diskrétní mřížce, tentokrát na 3D mřížce
• celkový integrál je dán součtem funkčních hodnot vynásobených určitou váhou
• u Simpsona jsme viděli, že v 1D se střídají váhy $\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \dots, \frac{1}{3}$, tedy krajní body mají váhu $\frac{1}{3}$, sudé $\frac{4}{3}$ a liché $\frac{2}{3}$
• ve více dimenzích máme koeficient pro každou dimenzi podle stejného pravidla a výsledný koeficient je jejich součinem! (nezapomeňte také na faktor $h^3$)
• cesta nízkého odporu je volba obdélníkové metody (koeficienty jsou rovny $1$)!