$ \renewcommand{\R}[1][{}]{{\mathbb{R}}^{#1}} \renewcommand{\Z}[1][{}]{{\mathbb{Z}}^{#1}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\getItem}{\pmb{\mid}} \renewcommand{\getitemR}[1]{\getItem{#1}} \newcommand{\getitemL}[1]{{#1}\getItem} \renewcommand{\elemR}[2]{{#1}^{\phantom{\T}}_{\getitemR{#2}}} \renewcommand{\elemRP}[2]{{\big(#1\big)}^{\phantom{\T}}_{\getitemR{#2}}} \renewcommand{\elemRPE}[2]{\big({#1}^{\phantom{\T}}_{\getitemR{#2}}\big)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\Vect}[2][{}]{{\boldsymbol{#2}}_{#1}} \renewcommand{\eleVR}[2] {\elemR {\Vect{#1}}{#2}} % con subindices \renewcommand{\eleVRP}[2] {\elemRP {\Vect{#1}}{#2}} % con subindices y paréntesis interior \renewcommand{\eleVRPE}[2]{\elemRPE{\Vect{#1}}{#2}} % con subindices y paréntesis exterior %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\VectC}[2][{}] {\elemR {\Mat{#2}}{#1}} % con subindices \renewcommand{\VectCP}[2][{}] {\elemRP {\Mat{#2}}{#1}} % con subindices y paréntesis \renewcommand{\VectCPE}[2][{}]{\elemRPE{\Mat{#2}}{#1}} % con subindices y paréntesis exterior %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\mat}[1]{\mathbf{#1}} \renewcommand{\Mat} [2][{}]{{\mat{#2}}_{#1}} \renewcommand{\T}{\intercal} \renewcommand{\MatT}[2][{}]{{\mat{#2}}^{\T}_{#1}} \renewcommand{\VectCC}[2][{}] {\elemRR {\Mat{#2}}{#1}} % con () \renewcommand{\VectCCC}[2][{}] {\elemRRR{\Mat{#2}}{#1}} % con texto "col" %SELECCIÓNA de FILAS y COlUMNAS DE UNA MATRIZ TRANSPUESTA PARA GENERAR UN VECTOR DE Rn \renewcommand{\VectTC}[2][{}] {\elemR{\MatT{#2}\!}{#1}} % con subindices \renewcommand{\VectTCC}[2][{}] {\elemRR{ \MatT{#2}}{#1}} % con () \renewcommand{\VectTCCC}[2][{}] {\elemRRR{\MatT{#2}}{#1}} % con texto "col" \renewcommand{\dotprod}[2][{}] {\Vect{#1}\cdot\Vect{#2}} $
${\huge\text{Jupyter notebook de la Lección 13}}$
from nacal import *
from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo('B3mUB8qRkEo')
Ahora léase la sección 13.1 del libro
Aún no hemos visto cómo calcular el valor del determinante, pero el módulo NAcAL ya sabe hacerlo (más adelante veremos cómo lo calcula).
Por ahora sepa que la forma de obtener su valor es invocando al procedimiento
determinante(). Por ejemplo:
a=Vector([1,3,2])
b=Vector([-1,-1,0])
c=Vector([2,1,5])
A = Matrix([a,b,c])
A
A.determinante()
El determinante solo está definido para matrices cuadradas. Si pedimos el valor del determinante de una matriz 3 por 2 obtendremos un error.
# Matrix([a,b]).determinante() # Des-comente esta línea
El determinante de cualquier matriz identidad es 1
I(15).determinante()
Si sumamos una columna a otra, el determinante no cambia
Matrix([a, b+c ,c]).determinante()
Multiplicar una columna por un número, multiplica el determinante por dicho número
Matrix([a, -3*b ,c]).determinante()
Vea el segundo vídeo de la lección
YouTubeVideo('SeNNLFLdJoo')
Léase las secciones 13.2.1 y 13.2.2 del libro e intente repetir de nuevo las demostraciones.
Ahora sabemos que si la matriz tiene una columna de ceros su determinante es cero
Matrix([a, b , V0(3)]).determinante()
que aplicar una transformación elemental de Tipo I a las columnas no modifica el determinante
T((-25,3,2))
B = Matrix(A) & T((-25,3,2))
B
B.determinante()
y que aplicar una transformación elemental de Tipo II que multiplica por $\alpha$ una de las a las columnas multiplica el determinante por $\alpha$
alpha = -3
T((alpha,2))
C = Matrix(A) & T((alpha,2))
C
C.determinante()
Vea el tercer vídeo de la lección
YouTubeVideo('grE3dSwk368')
Ahora léase la Sección 13.2.3 del libro e intente repetir de nuevo las demostraciones.
Consideremos la siguiente sucesión de transformaciones elementales de Tipo I
h=T([ (-2, 1, 2), (-3, 1, 3), (-4, 1, 2), (-5, 1, 3), (-2, 2, 3), (4, 2, 1), (5, 3, 2) ])
h
Si las aplicamos sobre las columnas de $\Mat{A}$, obtenemos una nueva matriz $\Mat{D}$, pero con el mismo determinante que $\Mat{A}$
D = Matrix(A) & h
D
D.determinante()
Si aplicamos la secuencia de transformaciones sobre la matriz identidad, la matriz obtenida debe tener determinante 1
(I(3) & h).determinante()
Consideremos otra secuencia de transformaciones elementales (esta vez tanto de Tipo I como de Tipo II)
f = T([(3, 2), (7, 1, 2), (3, 3), (-8, 1, 3), (-2, 3), (17, 2, 3), (-2, 3, 1), (1, 3, 2), {3, 1} ])
f
Si aplicamos dicha secuencia de transformaciones a la matriz identidad de orden 3 obtenemos la matriz $\Mat{F}$
F = I(3) & f
F
cuyo determinante es
F.determinante()
Si calculamos el determinante del producto $|\Mat{AF}|$ obtenemos:
(A*F).determinante()
y si calculamos el producto de los determinantes $|\Mat{A}|$ y $|\Mat{F}|$ obtenemos el mismo resultado:
A.determinante() * F.determinante()
Recuerde que el intercambio de columnas es equivalente
a una secuencia de transformaciones elementales de Tipo I más una de Tipo II
que multiplica una de las columnas intercambiadas por -1
i = 2
j = 3
transf = T( (-1, j) ) & T( (-1, j, i) ) & T( (1, i, j) ) & T( (-1, j, i) )
transf
I(4) & transf
Vea el cuarto vídeo de la lección
YouTubeVideo('fYFAN3mqCMs')
a=Vector([1,3,2])
b=Vector([-1,-1,0])
c=Vector([2,1,5])
A = Matrix([a,b,c])
A.determinante()
Intercambiar dos columnas cambia el signo del determinante
Matrix([b,a,c]).determinante()
(Matrix(A) & T({2,3})).determinante()
El determinante de una matriz singular es nulo
Matrix([a,a,c]).determinante()
El determinante de la matriz inversa es el inverso del determinante
(A**-1 ).determinante()
Vea el quinto vídeo de la lección
YouTubeVideo('C_onBoIRLxI')
Ahora léase la Sección 13.2.5 del libro e intente repetir de nuevo las demostraciones.
La transposición no cambia el determinante
A.determinante()
(~A).determinante()
Las transformaciones elementales de las filas tienen el mismo efecto que las transformaciones elementales de las columnas
T((100,1,2)) & Matrix(A)
( T((100,1,2)) & Matrix(A) ).determinante()
T((100,3)) & Matrix(A)
( T((100,3)) & Matrix(A) ).determinante()
T( {1,3} ) & Matrix(A)
( T({1,3}) & Matrix(A) ).determinante()