二维胶粒的耗尽力¶

slug: two-dimension-depletion-force-between-colloids
date: 2015-09-15
tags: soft matter

基本数据结构¶

曲线由分段圆弧组成
直线可以看作是一种特殊的半径为无穷大的圆弧

优良性质¶

引理分段圆弧扩展之后的曲线依然是分段圆弧

直线扩展后还是直线
半径为$R$的圆扩展$d$后是半径为$R+d$的圆
转接点扩展$d$后产生的新的曲线是圆$d$
综上，无论怎么扩展，扩展前后曲线类型不变

In [2]:

from deplete.colloids import *
L, C = Line([0,2], [3,5]), Circle(3, [0,0], [0, pi/2])
subplot(121)
L.draw()
L.extend(0.1).draw()
axis('square');
subplot(122)
C.draw()
C.extend(0.1).draw()
axis('square');

扩展曲线¶

Naive的扩展方式¶

设定好定向，对应图像轮廓由一系列矢量弧段$a_1, a_2,\ldots a_n$组成
普通段普通扩展$a_i\rightarrow a_i'$
- 区分角度增加/减少的区别
  - 角度增加的时候半径为正$r=|r|$
  - 角度减少的时候半径为负$r=-|r|$
- 做变换$r\rightarrow r'=r+d$

In [3]:

c=triangloid(1, 1, 0.2, -0.4)
c.draw(label='colloid')
title('Naive idea')
for seg in c:
    seg.extend(0.1).draw()
axis('equal');

处理转折点¶

如果顺拐，即$a_i\times a_{i+1}>0$，转折段扩展出圆弧
如果逆拐，即$a_i\times a_{i+1}<0$，转折段可以扩展出圆弧，但是直线更适合处理，因为终究需要剪除

In [4]:

c.draw(label='colloid')
title('Considering Turning points')
c.offset_raw(0.1).draw_each()
axis('equal');

终极扩展方式¶

__问题__：我们现在的曲线，已经包含了扩展后的边界，但是有部分面积被环绕了多次
__解决方法__：剪除重复的正面积，保留真正的边界
__简化__方法：即最大的正边界
BUG: 某些凹陷严重情形下扩展会有bug，蚀刻时也会有bug

In [10]:

off=linspace(0, 0.4, 5)
for o in off:
    c.offset(o).draw(label='Offset {:.1f}'.format(o))
legend(loc="upper right")
axis('equal');

曲线相交¶

Depletion把两个当成一个整体

In [11]:

import pandas as pd
area=[c.offset(o).area() for o in off]
peri=[c.offset(o).perimeter() for o in off]
pd.DataFrame({"Offset": off, "Area": area, "Perimeter": peri})

Out[11]:

	Area	Offset	Perimeter
0	2.423661	0.0	7.423733
1	3.170664	0.1	7.516340
2	3.926929	0.2	7.608948
3	4.699730	0.3	7.938916
4	5.521669	0.4	8.510362

In [ ]: