In [1]:

from datetime import datetime
print(f'Päivitetty {datetime.now().date()} / Aki Taanila')

Päivitetty 2024-04-02 / Aki Taanila

Kolminkertainen eksponentiaalinen tasoitus¶

Aikasarjaennustamisessa oletan että toteutuneiden havaintojen muodostama aikasarja sisältää informaatiota, joka auttaa tulevien havaintojen ennustamisessa.

Eksponentiaalisen tasoituksen mallit ovat erityisen suosittuja liiketaloudessa kysynnän ennustamisessa. Mallit ovat helppokäyttöisiä, nopeasti laskettavissa ja helposti päivitettävissä uusien havaintojen myötä. Ennustusmenetelmä riippuu siitä, minkälaista systemaattista vaihtelua aikasarjassa esiintyy. Eksponentiaalisia tasoitusmenetelmiä käytettäessä on kolme päävaihtoehtoa:

Yksinkertainen eksponentiaalinen tasoitus aikasarjoille, joissa ei ole trendiä eikä kausivaihtelua. Jos ennustetaan pidemmälle kuin seuraavaan aikaleimaan, niin yksinkertainen eksoponentiaalinen tasoitus antaa kaikille tuleville aikaleimoille saman ennusteen.
Kaksinkertainen eksponentiaalinen tasoitus eli Holtin menetelmä aikasarjoille, joissa on trendi, mutta ei kausivaihtelua.
Kolminkertainen eksponentiaalinen tasoitus eli Holt-Wintersin menetelmä aikasarjoille, joissa on sekä trendi että kausivaihtelu.

Tässä muistiossa käytetään Holt-Wintersin menetelmää. Holt-Winterin tulomallissa aikasarjan tason L (level) hetkellä t määrittää lauseke

L_t = alfa * Y_t/S_t-s + (1 - alfa)(L_t-1 + T_t-1)

Yllä Y_t on viimeisin havainto, S_t-s on edellisen vastaavan periodin kausivaihtelu ja T_t-1 on edellinen trendi.

Trendille T hetkellä t saadaan arvio lausekkeesta

T_t= beta * (L_t - L_t-1) + (1 - beta) * T_t-1

Kausivaihtelulle S hetkellä t saadaan arvio lausekkeesta S_t = gamma * Y_t/L_t + (1 - gamma) * S_t-s

Ennuste hetkelle t + p saadaan (L_t + pT_t)S_t-s

Yllä on kyse Holt-Wintersin tulomallista, jossa kausivaihtelu huomioidaan kausivaihtelukertoimena. Holt-Wintersin mallia voidaan soveltaa myös summamallina, jolloin kausivaihtelu huomioidaan lisättävänä kausivaihteluterminä. Tulomalli soveltuu paremmin tilanteisiin, joissa kausivaihtelukomponentin suuruus vaihtelee aikasarjan tason L mukaan. Summamalli soveltuu tilanteisiin, joissa kausivaihtelukomponentin suuruus ei riipu aikasarjan tasosta L.

Mallin parametrit alfa, beta ja gamma pyritään määrittämään siten että ennustevirheiden neliöiden summa saadaan mahdollisimman pieneksi.

In [2]:

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

from statsmodels.tsa.api import seasonal_decompose
from statsmodels.tsa.api import ExponentialSmoothing

sns.set_style('whitegrid')

Aikasarjaan tutustuminen¶

In [3]:

df = pd.read_excel('http://taanila.fi/aikasarja.xlsx')
df.head()

Out[3]:

	Vuosineljännes	Kysyntä
0	2013-12-31	500
1	2014-03-31	350
2	2014-06-30	250
3	2014-09-30	400
4	2014-12-31	450

In [4]:

# Aikaleimat indeksiin
# to_datetime muuntaa merkkijonomuotoisen tiedon aikaleimoiksi
# format-parametri mahdollistaa erilaisten esitysmuotojen tunnistamisen aikaleimoiksi
df.index = pd.to_datetime(df['Vuosineljännes'], format="%Y-%m-%d")

# Pudotetaan tarpeettomaksi käynyt sarake pois
df = df.drop('Vuosineljännes', axis=1)
df

Out[4]:

	Kysyntä
Vuosineljännes
2013-12-31	500
2014-03-31	350
2014-06-30	250
2014-09-30	400
2014-12-31	450
2015-03-31	350
2015-06-30	200
2015-09-30	300
2015-12-31	350
2016-03-31	200
2016-06-30	150
2016-09-30	400
2016-12-31	550
2017-03-31	350
2017-06-30	250
2017-09-30	550
2017-12-31	550
2018-03-31	400
2018-06-30	350
2018-09-30	600
2018-12-31	750
2019-03-31	500
2019-06-30	400
2019-09-30	650
2019-12-31	850

In [5]:

df.plot()

Out[5]:

<Axes: xlabel='Vuosineljännes'>

In [6]:

# Aikasarjan vaihtelua aiheuttavien komponenttien erottelu
# Observed=alkuperäinen aikasarja, Trend=trendi, Seasonal=kausivaihtelu,
# Residual=muu kuin trendiin ja kausivaihteluun liittyvä vaihtelu

decompose = seasonal_decompose(df['Kysyntä']).plot()

Tässä aikasarjassa on selvästi havaittavat trendi ja kausivaihtelu. Koska kyse on vuosineljänneksittäisestä datasta, niin kausivaihtelu esiintyy neljän havainnon (vuosineljänneksen) jaksoissa.

Mallin sovitus¶

Ennustemalli sovitetaan (fit) dataan. Tuloksena saadaan olio (tässä olen antanut oliolle nimeksi malli), joka sisältää monenlaista tietoa mallista.

Trendiin (trend) käytän summamallia (add), jossa trendi on aikasarjaan lisättävä termi. Tämä on suositeltavin vaihtoehto.

Kausivaihteluun (seasonal) käytän summamallia (add) tai tulomallia (mul). Tulomallissa kausivaihtelu ilmenee kertoimina. Tässä olen kokeillut myös summamallia, mutta tulomalli osoittautui paremmaksi.

seasonal_periods-parametrille käytän arvoa 4, koska kausivaihtelu esiintyy neljän vuosineljänneksen jaksoissa.

freq-parametrille käytän arvoa 'QE', koska kyseessä ovat vuosineljänneksien viimeiset päivät. Lisätietoa freq-parametrin mahdollisista arvoista https://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/user_guide/timeseries.html#offset-aliases

In [7]:

malli = ExponentialSmoothing(df['Kysyntä'], trend='add', seasonal='mul', 
                             seasonal_periods=4, freq='QE').fit()

In [8]:

# malli-olion avulla saan mallin mukaan simuloidut ennusteet (fittedvalues) jo toteutuneille ajankohdille
df['Ennuste'] = malli.fittedvalues
df

Out[8]:

	Kysyntä	Ennuste
Vuosineljännes
2013-12-31	500	500.361288
2014-03-31	350	343.996373
2014-06-30	250	265.222508
2014-09-30	400	445.316005
2014-12-31	450	496.221285
2015-03-31	350	313.025004
2015-06-30	200	262.293162
2015-09-30	300	366.159531
2015-12-31	350	377.900949
2016-03-31	200	244.302321
2016-06-30	150	156.073801
2016-09-30	400	268.831974
2016-12-31	550	473.395022
2017-03-31	350	371.342033
2017-06-30	250	265.642242
2017-09-30	550	445.771871
2017-12-31	550	654.725518
2018-03-31	400	382.808599
2018-06-30	350	299.486010
2018-09-30	600	609.324360
2018-12-31	750	725.597453
2019-03-31	500	508.968588
2019-06-30	400	375.853080
2019-09-30	650	699.824318
2019-12-31	850	789.985348

In [9]:

# Alkuperäinen aikasarja ja mallin mukaiset ennusteet samaan kaavioon
df.plot()

Out[9]:

<Axes: xlabel='Vuosineljännes'>

In [10]:

# Ennustevirheet (residuaalit) löytyvät malli-oliosta
df['Ennustevirhe'] = malli.resid
df

Out[10]:

	Kysyntä	Ennuste	Ennustevirhe
Vuosineljännes
2013-12-31	500	500.361288	-0.361288
2014-03-31	350	343.996373	6.003627
2014-06-30	250	265.222508	-15.222508
2014-09-30	400	445.316005	-45.316005
2014-12-31	450	496.221285	-46.221285
2015-03-31	350	313.025004	36.974996
2015-06-30	200	262.293162	-62.293162
2015-09-30	300	366.159531	-66.159531
2015-12-31	350	377.900949	-27.900949
2016-03-31	200	244.302321	-44.302321
2016-06-30	150	156.073801	-6.073801
2016-09-30	400	268.831974	131.168026
2016-12-31	550	473.395022	76.604978
2017-03-31	350	371.342033	-21.342033
2017-06-30	250	265.642242	-15.642242
2017-09-30	550	445.771871	104.228129
2017-12-31	550	654.725518	-104.725518
2018-03-31	400	382.808599	17.191401
2018-06-30	350	299.486010	50.513990
2018-09-30	600	609.324360	-9.324360
2018-12-31	750	725.597453	24.402547
2019-03-31	500	508.968588	-8.968588
2019-06-30	400	375.853080	24.146920
2019-09-30	650	699.824318	-49.824318
2019-12-31	850	789.985348	60.014652

Mallin tarkastelu¶

Mallin hyvyyden tarkasteluun on monia tapoja. Tässä käytän

ennustevirheiden aikasarjaa viivakaaviona
ennusteiden ja toteutuneiden arvojen hajontakaaviota
malliin liittyvää statistiikkaa, jonka saan summary-funktiolla.

Huomaa erityisesti SSE (sum of squared errors). Mallia laskeva algoritmi yrittää saada SSE:n mahdollisimman pieneksi.

In [11]:

# Ennustevirheet aikasarjana
# On hyvä, jos ennustevirheiden aikasarjan vaihtelu on sattumanvaraista
df['Ennustevirhe'].plot()
plt.ylabel('Ennustevirhe')

Out[11]:

Text(0, 0.5, 'Ennustevirhe')

In [12]:

# Ennusteiden ja toteutuneiden kysyntöjen hajontakaavio
# Ennustemalli on sitä parempi, mitä paremmin pisteet seuraavat suoraa viivaa
# vasemmasta alakulmasta oikeaan yläkulmaan
df.plot(kind='scatter', x='Ennuste', y='Kysyntä')
plt.xlabel('Ennuste')
plt.ylabel('Toteutunut kysyntä')

Out[12]:

Text(0, 0.5, 'Toteutunut kysyntä')

In [13]:

# Mallin statistiikkaa
malli.summary()

Out[13]:

ExponentialSmoothing Model Results
Dep. Variable:	Kysyntä	No. Observations:	25
Model:	ExponentialSmoothing	SSE	72742.406
Optimized:	True	AIC	215.395
Trend:	Additive	BIC	225.146
Seasonal:	Multiplicative	AICC	231.109
Seasonal Periods:	4	Date:	Tue, 02 Apr 2024
Box-Cox:	False	Time:	14:29:10
Box-Cox Coeff.:	None

	coeff	code	optimized
smoothing_level	0.8965013	alpha	True
smoothing_trend	0.0119557	beta	True
smoothing_seasonal	0.0088302	gamma	True
initial_level	304.31607	l.0	True
initial_trend	10.241530	b.0	True
initial_seasons.0	1.5906826	s.0	True
initial_seasons.1	1.0597773	s.1	True
initial_seasons.2	0.7801315	s.2	True
initial_seasons.3	1.3390183	s.3	True

Ennusteiden laskeminen¶

Ennustettavien ajankohtien aikaleimojen määrittämiseksi:

Ensimmäisen ennustettavan ajankohdan aikaleiman täytyy olla aikasarjan viimeisintä aikaleimaa seuraava aikaleima.
Ennustettavien ajankohtien lukumäärän voin määrittää periods-parametrilla.
Ennustettavien ajankohtien frekvenssin on oltava sama kuin mallia sovitettaessa käytetty freq-parametrin arvo.

Lisätietoa freq-parametrin mahdollisista arvoista https://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/user_guide/timeseries.html#offset-aliases

In [14]:

#Tarkistan viimeisen aikaleiman
df.tail()

Out[14]:

	Kysyntä	Ennuste	Ennustevirhe
Vuosineljännes
2018-12-31	750	725.597453	24.402547
2019-03-31	500	508.968588	-8.968588
2019-06-30	400	375.853080	24.146920
2019-09-30	650	699.824318	-49.824318
2019-12-31	850	789.985348	60.014652

In [15]:

# Ennustettavien ajankohtien aikaleimat (alkupäivänä aikasarjan viimeistä aikaleimaa seuraava aikaleima)
index = pd.date_range('2020-03-31', periods=8, freq='QE')

# Ennusteet kahdeksalle vuosineljännekselle
ennusteet = malli.forecast(8)

# Ennusteet dataframeen
df_ennuste = pd.DataFrame(data=ennusteet, index=index, columns=['Ennuste'])
df_ennuste

Out[15]:

	Ennuste
2020-03-31	573.205675
2020-06-30	429.554427
2020-09-30	754.271537
2020-12-31	908.356987
2021-03-31	616.245179
2021-06-30	461.213502
2021-09-30	808.857186
2021-12-31	972.925416

In [16]:

# Viivakaavio havainnoista
df['Kysyntä'].plot()

# Ennusteet kaavioon
df_ennuste['Ennuste'].plot()

Out[16]:

<Axes: xlabel='Vuosineljännes'>

In [17]:

# Data, jossa alkuperäinen aikasarja ja lasketut ennusteet
df1 = pd.concat([df, df_ennuste])
df1

Out[17]:

	Kysyntä	Ennuste	Ennustevirhe
2013-12-31	500.0	500.361288	-0.361288
2014-03-31	350.0	343.996373	6.003627
2014-06-30	250.0	265.222508	-15.222508
2014-09-30	400.0	445.316005	-45.316005
2014-12-31	450.0	496.221285	-46.221285
2015-03-31	350.0	313.025004	36.974996
2015-06-30	200.0	262.293162	-62.293162
2015-09-30	300.0	366.159531	-66.159531
2015-12-31	350.0	377.900949	-27.900949
2016-03-31	200.0	244.302321	-44.302321
2016-06-30	150.0	156.073801	-6.073801
2016-09-30	400.0	268.831974	131.168026
2016-12-31	550.0	473.395022	76.604978
2017-03-31	350.0	371.342033	-21.342033
2017-06-30	250.0	265.642242	-15.642242
2017-09-30	550.0	445.771871	104.228129
2017-12-31	550.0	654.725518	-104.725518
2018-03-31	400.0	382.808599	17.191401
2018-06-30	350.0	299.486010	50.513990
2018-09-30	600.0	609.324360	-9.324360
2018-12-31	750.0	725.597453	24.402547
2019-03-31	500.0	508.968588	-8.968588
2019-06-30	400.0	375.853080	24.146920
2019-09-30	650.0	699.824318	-49.824318
2019-12-31	850.0	789.985348	60.014652
2020-03-31	NaN	573.205675	NaN
2020-06-30	NaN	429.554427	NaN
2020-09-30	NaN	754.271537	NaN
2020-12-31	NaN	908.356987	NaN
2021-03-31	NaN	616.245179	NaN
2021-06-30	NaN	461.213502	NaN
2021-09-30	NaN	808.857186	NaN
2021-12-31	NaN	972.925416	NaN

Lisätietoa

Data-analytiikka Pythonilla: https://tilastoapu.wordpress.com/python/