第四讲：$A$ 的 $LU$ 分解¶

$AB$的逆矩阵： $$ \begin{aligned} A \cdot A^{-1} = I & = A^{-1} \cdot A\\ (AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) & = I\\ \textrm{则} AB \textrm{的逆矩阵为} & B^{-1}A^{-1} \end{aligned} $$

$A^{T}$的逆矩阵： $$ \begin{aligned} (A \cdot A^{-1})^{T} & = I^{T}\\ (A^{-1})^{T} \cdot A^{T} & = I\\ \textrm{则} A^{T} \textrm{的逆矩阵为} & (A^{-1})^{T} \end{aligned} $$

将一个 $n$ 阶方阵 $A$ 变换为 $LU$ 需要的计算量估计：¶

1. 第一步，将$a_{11}$作为主元，需要的运算量约为$n^2$

$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $$

2. 以此类推，接下来每一步计算量约为$(n-1)^2、(n-2)^2、\cdots、2^2、1^2$。

3. 则将 $A$ 变换为 $LU$ 的总运算量应为$O(n^2+(n-1)^2+\cdots+2^2+1^2)$，即$O(\frac{n^3}{3})$。

置换矩阵(Permutation Matrix)：

3阶方阵的置换矩阵有6个： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

$n$阶方阵的置换矩阵有$\binom{n}{1}=n!$个。