举例：$3 \times 4$矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} $，求$Ax=0$的特解：
找出主变量（pivot variable）： $$ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} =U $$
主变量（pivot variable，下划线元素）的个数为2，即矩阵$A$的秩（rank）为2，即$r=2$。
主变量所在的列为主列（pivot column），其余列为自由列（free column）。
自由列中的变量为自由变量（free variable），自由变量的个数为$n-r=4-2=2$。
通常，给自由列变量赋值，去求主列变量的值。如，令$x_2=1, x_4=0$求得特解 $x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}$； 再令$x_2=0, x_4=1$求得特解 $x=c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}$。
该例还能进一步简化，即将$U$矩阵化简为$R$矩阵（Reduced row echelon form），即简化行阶梯形式。
在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都是$0$： $$ U= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} =R $$
将$R$矩阵中的主变量放在一起，自由变量放在一起（列交换），得到
$$ R= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{列交换} \left[ \begin{array}{c c | c c} 1 & 0 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \textrm{，其中}I\textrm{为单位矩阵，}F\textrm{为自由变量组成的矩阵} $$计算零空间矩阵$N$（nullspace matrix），其列为特解，有$RN=0$。
$$ x_{pivot}=-Fx_{free} \\ \begin{bmatrix} I & F \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{pivot} \\ x_{free} \\ \end{bmatrix}=0 \\ N=\begin{bmatrix} -F \\ I \\ \end{bmatrix} $$在本例中 $ N= \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $，与上面求得的两个$x$特解一致。
另一个例子，矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R $
矩阵的秩仍为$r=2$，有$2$个主变量，$1$个自由变量。
同上一例，取自由变量为$x_3=1$，求得特解 $ x=c \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $