Guide d'onde

TD EM8b exercice 1

On considère la propagation d'une onde électromagnétique entre deux plans conducteurs parfaits $y=0$ et $y=a$. On suppose l'onde polarisée suivant $\vec{u}_z$ et on cherche des solutions de l'équation de d'Alembert sous la forme:

$$\vec{\underline{E}}=\left[ Ae^{{\rm i}k_2 y} +Be^{-{\rm i}k_2 y} \right] e^{{\rm i}(\omega t - k_1 x)} \vec{u}_z=E_z(x,y,z,t)\vec{u}_z$$

La composante tangentielle du champ électrique s'annule à la surface du conducteur. Cela impose les deux conditions aux limites:

$\forall t \quad \forall x \quad \forall z$

$E_z(x,0,z,t)=0$

$E_z(x,a,z,t)=0$

On en déduit

$$\vec{\underline{E}}=-2A\sin(n\frac{\pi}{a}y)\sin(\omega t - k_1 x)\vec{u}_z \quad n\in \mathbb{N}^*$$

avec $k_1=\sqrt{\left(\frac{\omega}{c}\right)^2-n^2\frac{\pi^2}{a^2}}$

In [1]:
%display latex
a=0.1
omega=2*pi*5*10^9  # on prend une fréquence de 5 GHz (deux modes possible: 1 et 2)
c=3e8
In [2]:
var('x,y,n,t')
Out[2]:
In [3]:
k1=sqrt((omega/c)^2-(n*pi/a)^2);k1
Out[3]:
In [4]:
Ez(x,y,n,t)=-0.02*sin(n*pi*y/a)*sin(omega*t-k1(n)*x);Ez
Out[4]:

Mode n=1

In [5]:
borne1=2*pi/k1(1)  
In [6]:
plot3d(Ez(x,y,1,0), (x,0,3*borne1) ,(y,0,a))
Out[6]:
In [7]:
T=2*pi/omega
In [8]:
mode1=animate([plot3d(Ez(x,y,1,k*0.05*T), (x,0,3*borne1) ,(y,0,a),
                      axes_labels=['x','y','Ez']) for k in range(20)]).interactive()
In [9]:
show(mode1,delay=5)