Champ électromagnétique dans une cavité (TD EM8b ex2)

Dimensions de la cavité parallélépipédique:

$0\leqslant x \leqslant a$

$0\leqslant y \leqslant b$

$0\leqslant z \leqslant c$

Composantes du champ électrique pour le mode $(n_1,n_2,n_3)$

$$ \left\lbrace \begin{array}{l} E_x=E_1\cos(n_1\dfrac{\pi}{a}x)\sin(n_2\dfrac{\pi}{b}y)\sin(n_3\dfrac{\pi}{c}z)\sin\omega t\\ E_y=E_2\sin(n_1\dfrac{\pi}{a}x)\cos(n_2\dfrac{\pi}{b}y)\sin(n_3\dfrac{\pi}{c}z)\sin\omega t\\ E_z=E_3\sin(n_1\dfrac{\pi}{a}x)\sin(n_2\dfrac{\pi}{b}y)\cos(n_3\dfrac{\pi}{c}z)\sin\omega t\\ \end{array} \right. $$

On déduit de l'équation de d'Alembert: $$ \dfrac{\omega^2}{c^2}=n_1^2 \dfrac{\pi^2 }{a^2 } + n_2^2 \dfrac{\pi^2 }{b^2 } + n_3^2 \dfrac{\pi^2 }{c^2 } $$

et de ${\rm div}\vec{E}=0$:

$$ \frac{n_1}{a} E_1+\frac{n_2}{b} E_2+ \frac{n_3}{c}E_3=0 $$
In [1]:
%display latex
In [2]:
var('x,z,n_1,n_3,t')
Out[2]:

Visualisation des modes $(n_1,0,n_3)$

Pour simplifier on visualise les modes tels que $n_2=0$. Dans ce cas $E_x=E_z=0$. Le champ électrique est polarisé suivant $\vec{u}_y$. On verifie que ce champ s'annule sur les parois verticales et qu'il est perpendiculaire au "sol" et au "plafond" de la cavité. Dans tous les cas l'annulation de la composante tangentielle de $\vec{E}$ sur les parois parfaitement conductrices est vérifiée.

In [3]:
a=2;c=1

Mode $n_1=2,n_2=0,n_3=2$

In [4]:
Ey(x,z,n_1,n_3)=0.25*sin(n_1*pi*x/a)*sin(n_3*pi*z/c);Ey
Out[4]:
In [5]:
plot3d(Ey(x,z,2,2), (x,0,a) ,(z,0,c))
Out[5]:
In [6]:
Eyt(x,z,n_1,n_3,t)=Ey(x,z,n_1,n_3)*sin(2*pi*t);Eyt
Out[6]:
In [7]:
mode22=animate([plot3d(Eyt(x,z,2,2,k*0.05), (x,0,a) ,(z,0,c),
                      axes_labels=['x','z','y']) for k in range(20)]).interactive()
In [8]:
show(mode22,delay=5)