Princípios básicos de modelagem¶

• Modelos em geral
• Modelos matemáticos
• Tipos de modelos
• Tipos de modelagem
• Ajuste de parâmetros
• Validação
• Escolha do modelo
• Quantificação de incertezas

Modelos¶

• Um modelo é uma representação de algo:
  • Pessoa
  • Objeto
  • Conceito
  • Fenômeno
  • Etc.

Exemplos de modelos¶

• Um busto é uma representação visual de um indivíduo;
• Um perfil psicológico é um modelo das características psicológicas de um indivíduo;
• Um mapa é um modelo geográfico, e.g. um mapa rodoviário, topográfico, geo-político, etc.

Créditos: Imagem da rainha Nefertiti, Star Wars pesonality test Pesquisa CNT de rodovias

Modelo matemático¶

Um modelo matemático usa conceitos matemáticos nessas representações.

• Um mapa rodoviário pode ser um grafo conectando lugares.

$$ \begin{align} & \qquad \qquad \qquad \fbox{Minas Gerais} \\ & \qquad \qquad \nearrow \qquad \quad \;\updownarrow \qquad \qquad \nwarrow \\ & \fbox{São Paulo} \longleftrightarrow \fbox{Rio de Janeiro} \longleftrightarrow \fbox{Espírito Santo} \end{align} $$

• A dependência da oferta $Q(P)$ de um produto em relação ao seu preço $P$ pode ser o de elasticidade-constante $\epsilon$, com uma função

$$ Q(P) = C P^\epsilon. $$

• A dinâmica populacional de uma determinada espécie pode ser a equação diferencial logística

$$ \frac{\text{d} x}{\text{d} t} = \alpha x - \beta x^2. $$

Tipos de modelos¶

• estacionário x dinâmico
• determinístico x estocástico
• discreto x contínuo
• explícito x implícito
• macroscópico/microscópico x complexo
• diferencial x não-diferencial
• otimização x não-otimização

Modelagem matemática¶

"Modelagem matemática é um processo que utiliza conceitos matemáticos para representar, analisar, fazer previsões e obter conhecimento de fenômenos do mundo real." - GAIMME

Processo de modelagem¶

Tipos de modelagem¶

O processo de modelagem pode seguir vários caminhos:

• empírico: através da observação, seja de fenômenos reais, seja de experimentos controlados
• análise dimensional: baseado na análise das dimensões de quantidades envolvidas no fenômeno
• ad-hoc: introduzida sem muito fundamento e sem muita capacidade de generalização/extrapolação
• mecanicista: baseado em mecanismos envolvidos no fenômeno
  • heurístico: baseada em mecanismos qualitativos (e.g. os termos de interação entre duas espécies)
  • fundamental: baseado em relações/modelos bem estabelecidas e "precisos" (e.g. mecânica, termodinâmica, lei ação de massas)

Vale ressaltar que vários desses processos estão interligados.

Ajuste de parâmetros¶

• Uma parte fundamental do processo de modelagem é o ajuste de parâmetros.
• Os modelos dependem, normalmente, de vários parâmetros.
• É fundamental termos dados reais para ajustar os parâmetros a esses dados, e assim modelar o fenômeno apropriadamente.
• Esse ajuste pode ser feito com várias técnicas, algumas das quais veremos ao longo do curso.
• E invariavelmente os dados reais contém ruídos da medição e/ou refletem incertezas inerentes ao processo. Nesse caso, conceitos estatísticos/probilísticos são necessários.

Validação¶

• No processo de modelagem, não devemos nos preocupar apenas com a criação do modelo.
• É preciso validá-lo, também.
• Mesmo no modelo de um busto, fazemos a validação através da olhar, ou até mesmo do tato.
• Em um modelo matemático, também podemos fazer isso, tanto de forma qualitativa como quantitativa.
• No exemplo de alometria, podemos medir, para cada comprimento dado, a diferença entre os valores medidos para a massa e o valor estimado pelo modelo, e ver o quão pequena essa diferença é. De preferência de forma relativa, para termos um critério mais objetivo, entre modelos.

Escolha do modelo¶

• Em muitos casos, vários modelos parecem ser apropriados.
• Não é tão imediato decidir qual deles será mais satisfatório para o problema em questão.
• Diversas técnicas podem ser utilizadas para verificar a robustez de um modelo a predições, evitando, em particular, um excesso de parâmetros que possam ajustar perfeitamente o modelo mas causar erros grosseiros de predição, algo conhecido como over-fitting.
• Há testes de validação cruzada e critérios de teoria de informação que iremos explorar com esse objetivo.

Quantificação de incertezas¶

• Qualquer modelo contém incertezas em relação ao objeto da modelagem.
• Incertezas de naturezas diversas:
  • Aspectos não considerados no modelo;
  • Impossibilidade do fenômeno de ser completamente modelado;
  • Imprecisões nas medições;
  • Incertezas no ajuste de dados.
• Nesse sentido, é importante buscar quantificar essas incertezas e como elas afetam diversos aspectos oriundos da modelagem:
  • Predição
  • Representação
  • Análise
  • Robustez
• Há técnicas clássicas de análise de erro
  • Estatísticas/probilísticas (e.g. médias, desvio-padrão, cálculo de intervalos de confiança, análises de correlação)
  • Propagação local de erro, via análise de derivads
  • Propagação global de erro, via simulações de Monte-Carlo

Conclusão¶

• Vimos acima diversos aspectos do processo de modelagem:
  • Observação
  • Elaboração do modelo
  • Ajuste de dados
  • Validação
  • Escolha do "melhor" modelo
  • Quantificação de incertezas
• Ao longo do curso, vamos analisar cada um desses aspectos
• Faremos isso buscando, também, trabalhar em cima de diversos casos concretos
• E através de projetos em que cada um de vocês terá a oportunidade de fazer na prática