Reduzir o número e a complexidade de variáveis que afetam um determinado fenômeno.
Fornecer uma intuição simples e objetiva da realidade, apesar de aproximada.
Benefício extra: fazer uma primeira validação de um modelo checando-se a sua consistência dimensional.
comprimento $L$ ao quadrado nos dá a dimensão $L^2$ de área; comprimento $L$ sobre tempo $T$ nos dá a dimensão $L/T$ de velocidade.
Como mencionado acima, podemos consider a altura como sendo uma propriedade de uma pessoa, com a dimensão de comprimento, que pode ser medida em unidades de metros, centímetros, pés, polegas, etc., e com um valor numérico apropriado. Por exemplo, a minha altura é de $h = 1,80 \,\texttt{m}$, onde $\texttt{m}$ é o símbolo para metros. A notação para a dimensão de comprimento é $[h] = L$. Em outras unidades, posso escrever $h = 180 \,\texttt{cm}$ ou $h = 5\,\texttt{ft} \;11\,\texttt{in}$.
A pressão atmosférica é a pressão que sentimos devida à atmosfera da Terra. Ao nível do mar, na média ao redor da Terra, ela é de aproximadamente 1 atmosfera, ou $1 \,\texttt{atm}$, onde $\texttt{atm}$ é, mais precisamente, a atmosfera padrão, que é definida como
Em geral, para cada problema em questão, podemos nos restringir a apenas um determinado conjunto de dimensões.
Por exemplo, para problemas mecânicos, basta considerarmos massa, comprimento e tempo.
No caso de problemas termo-mecânicos, devemos adicionar a temperatura.
Em finanças, consideramos uma dimensão monetária.
Em química, precisamos de uma dimensão para a quantidade de uma substância.
Em outros problemas, uma dimensão para a corrente elétrica, para luminosidade, etc.
Junto com a determinação de um conjunto de dimensões para um determinado problema, podemos escolher um conjunto de unidades para representar quantidades em cada dimensão.
Fixando as unidades, podemos abstrair os valores e facilitar os cálculos entre as quantidades.
Uma determinada escolha de unidades é chamada de sistema de unidades.
| Grandeza | Unidades | Nome | Dimensão |
|---|---|---|---|
| comprimento | $\texttt{m}$ | metro | $L$ |
| massa | $\texttt{kg}$ | quilograma | $M$ |
| tempo | $\texttt{s}$ | segundos | $T$ |
| Grandeza | Unidades | Nome | Dimensão |
|---|---|---|---|
| comprimento | $\texttt{m}$ | metro | $L$ |
| massa | $\texttt{kg}$ | quilograma | $M$ |
| tempo | $\texttt{s}$ | segundos | $T$ |
| temperatura | $\texttt{K}$ | kelvin | $\Theta$ |
| Grandeza | Unidades | Nome | Dimensão |
|---|---|---|---|
| comprimento | $\texttt{m}$ | metro | $L$ |
| massa | $\texttt{kg}$ | quilograma | $M$ |
| tempo | $\texttt{s}$ | segundos | $T$ |
| temperatura | $\texttt{K}$ | kelvin | $\Theta$ |
| corrente elétrica | $\texttt{A}$ | ampére | $I$ |
| intensidade luminosa | $\texttt{cd}$ | candeia | $J$ |
| quantidade de substância | $\texttt{mol}$ | mole | $N$ |
As dimensões e as unidades associadas às grandezas físicas são divididas em duas categorias: fundamentais (ou de base) e derivadas.
No sistema MKS, por exemplo, as dimensões fundamentais são comprimento, massa e tempo. A partir delas, podemos obter volume, área, velocidade, aceleração e densidade, por exemplo, com dimensões, respectivamente, de $L^3$, $L^2$, $L/T$, $L/T^2$ e $M/L^3$.
Mas essa classificação é arbitrária. Poderíamos considerar o volume como unidade fundamental, no lugar de comprimento, e obter o comprimento $L=\text{volume}^{1/3}$. Ou considerar ainda a densidade no lugar da massa e obter $M=\text{densidade}\times\text{volume}$.
Associadas à escolha das dimensões fundamentais, temos as unidades fundamentais correspondentes, assim como as unidades derivadas.
| Grandeza | Unidades | Dimensão | Nome |
|---|---|---|---|
| área | $\texttt{m}^2$ | $L^2$ | |
| volume | $\texttt{m}^3$ | $L^3$ | |
| velocidade | $\texttt{m}\,/\,\texttt{s}$ = $\texttt{m}\,\texttt{s}^{-1}$ | $L T^{-1}$ | |
| aceleração | $m/s^2$ = $m \, s^{-2}$ | $L T^{-2}$ | |
| força | $N$ = $\dfrac{\texttt{kg}\,\texttt{m}}{\texttt{s}^2}$ = ${\texttt{kg} \, \texttt{m} \, \texttt{s}^{-2}}$ | $M L T^{-2}$ | Newton |
| trabalho / energia | $\texttt{J}$ = $\dfrac{\texttt{kg} \, \texttt{m}^2}{\texttt{s}^2}$ = ${\texttt{kg} \, \texttt{m}^2 \, \texttt{s}^{-2}}$ | $M L^2 T^{-2}$ | Joule |
| pressão | $\texttt{Pa}$ = $\dfrac{\texttt{kg}}{\texttt{m} \, \texttt{s}^2}$ = ${\texttt{kg} \, \texttt{m}^{-1} \, \texttt{s}^{-2}}$ | $M L^{-1} T^{-2}$ | Pascal |
| densidade (massa específica) | $\dfrac{\texttt{kg}}{\texttt{m}^3}$ = $\texttt{kg} \, \texttt{m}^{-3}$ | $M L^{-3}$ | |
| difusividade (de massa e térmica) | $\dfrac{\texttt{m}^2}{\texttt{s}}$ = $\texttt{m}^2 \, \texttt{s}^{-1}$ | $M^2 T^{-1}$ |
Observe que o litro é uma unidade de volume igual a um decímetro cúbico, i.e. $\texttt{l} = \texttt{dm}^3$.
Para uma lista mais completa, veja Lista de grandezas físicas
Um outro sistema semelhante ao MKS é o CGS, onde as unidades tomadas para as dimensões de comprimento, massa e tempo são centímetro, grama e segundos.
Observe que eles representam as mesmas dimensões. Qualquer dimensão em um sistema é representável por uma dimensão (fundamental ou derivada, mas nesse caso sempre fundamental) no outro. Nesse casos, eles são ditos sistemas de mesma classe.
Sistemas da mesma classe são facilmente intercambiáveis. Podemos expressar qualquer quantidade possível em um ou em outro sistema. Por exemplo, como vimos acima, podemos representar uma distância de 2 metros como sendo de 200 centímetros. E uma densidade de $1000\,\texttt{kg}/\texttt{m}^3$ como sendo de $1.000.000\,\texttt{g}/100^3\texttt{cm}^3 = 1\,\texttt{g}/\texttt{cm}^3$.
As funções trigonométricas, a função exponencial, o logaritmo e outras funções transcendentais não são estendidas diretamente a quantidades, unidades e dimensões.
Elas podem ser definidas por geometria ou por séries de potências ou por outras maneiras não puramente algébricas e que não estão plenamente disponíveis no contexto dimensional.
Elas só se aplicam a quantidades adimensionais.
O logaritmo, no entanto, pode ser dado um certo sentido em geral, mas é preciso ter cuidado.
De maneira apropriada, podemos associar o grupo $\mathcal{D}$ de dimensões com um espaço vetorial sobre os racionais.
Para diferenciar o conjunto de dimensões munido das operações de grupo, que denotamos por $\mathcal{D}$, do mesmo conjunto munido das operações vetoriais, vamos denotar este último por $\overline{\mathcal{D}}$.
A cada $D$, vamos denotar por $\bar D$ essa dimensão vista como elemento de $\overline{\mathcal{D}}$. (Imagine "mergulhar" $x\in\mathbb{R}$ em $\bar x = (x,0)\in \mathbb{R}^2$, ou trasformar $s\in (0,\infty)$ em $\bar s = \log s \in \mathbb{R}$... 😉)
Dados um racional $q$ e dimensões $\bar D$, $\bar D_1$ e $\bar D_2$ em $\overline{\mathcal{D}}$, definimos o produto escalar e a soma vetorial em $\mathcal{D}$ respectivamente por
Verifique, de fato, que isso faz de $\bar{D}$ um espaço vetorial sobre os racionais!
E observe que, com essa representação, a transformação $D\mapsto \bar D$ tem a "cara" (propriedades algébricas) de um logaritmo.
Por conta disso, podemos renomear essa transformação para $\operatorname{Log}$:
No sistema MKS, só consideramos as dimensões de comprimento, massa e tempo: $L$, $M$ e $T$.
A partir delas, temos velocidade $L T^{-1}$, aceleração $L T^{-2}$, área $L^2$, volume $L^3$, densidade $ML^{-3}$, energia $ML^2T^{-2}$ e assim por diante.
Claramente, isso tem uma aspecto de base, onde $L$, $M$ e $T$ geram todas as outras dimensões desse sistema.
Essa associação fica mais clara quando usamos a representação logarítmica anterior, onde podemos escrever
A mesma ideia pode ser estendida a quantidades e unidades, afinal eles também tem essa estutura de grupo abeliano para a multiplicação.
Podemos considerar $\operatorname{Log}(\texttt{u})$ de uma unidade $\texttt{u}$ e, associado a isso, $\operatorname{Log}(q)$ de uma quantidade.
Mas cuidado!:
O conjunto de unidades também pode ter uma representação mais concreta.
Cada conjunto de equivalência de unidade pode ser visto como um subespaço afim unidimensional sobre os reais.
Na maioria dos casos, simplesmente como um subespaço.
Dadas duas unidades $\texttt{u}$ e $\texttt{v}$ na mesma classe, ou seja, de mesma dimensão, existem um $a_0\in \mathbb{R}$ e um fator $\lambda>0$ tais que, qualquer $r\in \mathbb{R}$, podemos sempre escrever $r\,\texttt{u}$ como $r\,\texttt{u} = (a_0 + \lambda r)\,\texttt{v}$, para algum $s\in \mathbb{R}$.
É essencialmente como se cada unidade se comportasse como uma base para o subespaço.
C. Dym, Principles of Mathematical Modeling, 2nd ed, Academic Press, 2004.
E. A. Bender, An Introduction to Mathematical Modeling, Dover, 1978.
G. Barenblatt, G. -- Scaling, Cambridge University Press, 2003.
Groesen, E. van, and Molenaar, J. -- Continuum Modeling in the Physical Sciences, SIAM, 2007.
T. Tao, A mathematical formalisation of dimensional analysis.